確率変数 $X$ が正規分布 $N(m, \sigma^2)$ に従うとき、$Z = \frac{X-2}{3}$ が標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。このとき、$m$ と $\sigma$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が正規分布 $N(m, \sigma^2)$ に従うとき、$Z = \frac{X-2}{3}$ が標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。このとき、$m$ と $\sigma$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$X$ が正規分布 $N(m, \sigma^2)$ に従うとき、$X$ を標準化すると、

$$Z' = \frac{X - m}{\sigma}$$

は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。問題文より、$Z = \frac{X-2}{3}$ が標準正規分布 $N(0, 1)$ に従うので、$Z' = Z$ となるように $m$ と $\sigma$ を定める。

すなわち、

$$\frac{X - m}{\sigma} = \frac{X-2}{3}$$

が成り立つ必要がある。これを $X$ について整理すると、

$$3(X - m) = \sigma(X - 2)$$

$$3X - 3m = \sigma X - 2\sigma$$

$$(3-\sigma)X = 3m - 2\sigma$$

この等式が任意の $X$ に対して成り立つためには、$3-\sigma=0$ かつ $3m-2\sigma=0$ でなければならない。

$3 - \sigma = 0$ より、

$$\sigma = 3$$

次に、$3m - 2\sigma = 0$ に $\sigma = 3$ を代入すると、

$$3m - 2(3) = 0$$

$$3m - 6 = 0$$

$$3m = 6$$

$$m = 2$$

したがって、$m = 2$ かつ $\sigma = 3$ である。

3. 最終的な答え

$m = 2$, $\sigma = 3$