確率変数 $X$ が正規分布 $N(m, \sigma^2)$ に従うとき、$Z = \frac{X-2}{\sigma}$ が標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。このとき、$m$ と $\sigma$ の値を求める。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が正規分布 $N(m, \sigma^2)$ に従うとき、$Z = \frac{X-2}{\sigma}$ が標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。このとき、$m$ と $\sigma$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$Z = \frac{X-2}{\sigma}$ が標準正規分布 $N(0, 1)$ に従うということは、$Z$ の平均が0、分散が1であることを意味します。

$X$ は正規分布 $N(m, \sigma^2)$ に従うので、$X$ の平均は $m$ 、分散は $\sigma^2$ です。

$Z$ の平均 $E[Z]$ を計算します。

$E[Z] = E\left[\frac{X-2}{\sigma}\right] = \frac{1}{\sigma}E[X-2] = \frac{1}{\sigma}(E[X]-2) = \frac{1}{\sigma}(m-2)$

$Z$ が標準正規分布に従うためには、$E[Z] = 0$ でなければならないので、

$\frac{1}{\sigma}(m-2) = 0$

$m-2 = 0$

$m = 2$

次に、$Z$ の分散 $Var(Z)$ を計算します。

$Var(Z) = Var\left(\frac{X-2}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma^2}Var(X-2) = \frac{1}{\sigma^2}Var(X) = \frac{\sigma^2}{\sigma^2} = 1$

$Z$ が標準正規分布に従うためには、$Var(Z) = 1$ でなければならないので、$\sigma$は任意の実数値をとることができます。しかし、問題文より $Z=\frac{X-2}{\sigma}$ であるため、$\sigma$ は正の実数でなければなりません。よって、$Var(Z)=1$ が成り立ちます。問題文に$Z = \frac{X-2}{\sigma}$ と与えられているので、$Var(Z) = Var(\frac{X-2}{\sigma}) = \frac{Var(X)}{\sigma^2} = \frac{\sigma^2}{\sigma^2} = 1$ となります。

問題文にミスプリントがある可能性を考慮します。もし、$Z = \frac{X-m}{\sigma}$ であれば、$m=2$という条件は不要になります。

$X$ が正規分布 $N(m, \sigma^2)$ に従うとき、標準化変数 $Z = \frac{X-m}{\sigma}$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従います。

この場合、$Z = \frac{X-2}{\sigma}$ より $m=2$ となります。したがって、$\sigma$ は任意です。

もし、$Z=\frac{X-2}{\sigma}$ が正しいのであれば、$Z=\frac{X-m}{\sigma}$より、$m=2$です。$Z$が標準正規分布に従うためには分散が1でなければなりません。

したがって、$Var(Z)=1$ですが、これは問題文より自明です。したがって、$\sigma$の値は確定しません。

ただし、問題文より、$Z=\frac{X-2}{\sigma}$であるため、$\sigma$は0以外の任意の実数をとることができます。通常、$\sigma > 0$ であるため、$\sigma$の値は確定しません。

3. 最終的な答え

$m = 2$

$\sigma > 0$