不等式 $a^2 + 3ab + 3b^2 \ge 0$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つのはどのようなときか答える。

1. 問題の内容

不等式 $a^2 + 3ab + 3b^2 \ge 0$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つのはどのようなときか答える。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を平方完成させる。

$a^2 + 3ab + 3b^2 = a^2 + 3ab + \frac{9}{4}b^2 - \frac{9}{4}b^2 + 3b^2$

$= (a + \frac{3}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2$

ここで、$(a + \frac{3}{2}b)^2 \ge 0$ であり、$\frac{3}{4}b^2 \ge 0$ である。

したがって、$(a + \frac{3}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$(a + \frac{3}{2}b)^2 = 0$ かつ $\frac{3}{4}b^2 = 0$ のときである。

$\frac{3}{4}b^2 = 0$ より、$b=0$。

$(a + \frac{3}{2}b)^2 = 0$ に $b=0$ を代入すると、$a^2 = 0$ となり、$a=0$。

したがって、等号が成り立つのは、$a=0$ かつ $b=0$ のときである。

3. 最終的な答え

$a^2 + 3ab + 3b^2 \ge 0$ は成り立つ。

等号が成り立つのは、$a=0$ かつ $b=0$ のときである。