与えられた2次関数 $y = x^2 + bx + c$ を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形する問題です。具体的には、以下の4つの関数について平方完成を行います。 (1) $y = x^2 + 6x$ (2) $y = x^2 + 8x + 18$ (3) $y = 2x^2 - 8x - 5$ (4) $y = 3x^2 + 6x + 5$

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = x^2 + bx + c$ を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形する問題です。具体的には、以下の4つの関数について平方完成を行います。

(1) $y = x^2 + 6x$

(2) $y = x^2 + 8x + 18$

(3) $y = 2x^2 - 8x - 5$

(4) $y = 3x^2 + 6x + 5$

2. 解き方の手順

平方完成を行う手順は以下の通りです。

(1) $x^2 + bx$ の形の式を $(x + \frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2$ に変形します。

(2) $ax^2 + bx + c$ の形の式を $a(x + \frac{b}{2a})^2 - a(\frac{b}{2a})^2 + c$ に変形します。

(3) 定数項を整理して、$y = a(x-p)^2 + q$ の形にします。

以下、各問題について平方完成を行います。

(1) $y = x^2 + 6x$

$y = (x + 3)^2 - 3^2$

$y = (x + 3)^2 - 9$

(2) $y = x^2 + 8x + 18$

$y = (x + 4)^2 - 4^2 + 18$

$y = (x + 4)^2 - 16 + 18$

$y = (x + 4)^2 + 2$

(3) $y = 2x^2 - 8x - 5$

$y = 2(x^2 - 4x) - 5$

$y = 2((x - 2)^2 - 2^2) - 5$

$y = 2(x - 2)^2 - 2(4) - 5$

$y = 2(x - 2)^2 - 8 - 5$

$y = 2(x - 2)^2 - 13$

(4) $y = 3x^2 + 6x + 5$

$y = 3(x^2 + 2x) + 5$

$y = 3((x + 1)^2 - 1^2) + 5$

$y = 3(x + 1)^2 - 3(1) + 5$

$y = 3(x + 1)^2 - 3 + 5$

$y = 3(x + 1)^2 + 2$

3. 最終的な答え

(1) $y = (x + 3)^2 - 9$

(2) $y = (x + 4)^2 + 2$

(3) $y = 2(x - 2)^2 - 13$

(4) $y = 3(x + 1)^2 + 2$