次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。 (1) $a_1 = 5$, $a_{n+1} = 4a_n - 6$ (2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + 1$

1. 問題の内容

次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

(1) $a_1 = 5$, $a_{n+1} = 4a_n - 6$

(2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + 1$

2. 解き方の手順

(1)

$a_{n+1} = 4a_n - 6$ を変形するために、$a_{n+1} - \alpha = 4(a_n - \alpha)$ となる $\alpha$ を求めます。

$a_{n+1} = 4a_n - 6$ と $a_{n+1} = 4a_n - 3\alpha$ を比較して、 $3\alpha = 6$ より $\alpha = 2$ となります。

したがって、$a_{n+1} - 2 = 4(a_n - 2)$ と変形できます。

$b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_{n+1} = 4b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1 = a_1 - 2 = 5 - 2 = 3$、公比 4 の等比数列です。

よって、$b_n = 3 \cdot 4^{n-1}$ となります。

$a_n = b_n + 2$ より、$a_n = 3 \cdot 4^{n-1} + 2$ となります。

(2)

$a_{n+1} = 2a_n + 1$ を変形するために、$a_{n+1} - \alpha = 2(a_n - \alpha)$ となる $\alpha$ を求めます。

$a_{n+1} = 2a_n + 1$ と $a_{n+1} = 2a_n - \alpha$ を比較して、$-\alpha = 1$ より $\alpha = -1$ となります。

したがって、$a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)$ と変形できます。

$b_n = a_n + 1$ とおくと、$b_{n+1} = 2b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$、公比 2 の等比数列です。

よって、$b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$ となります。

$a_n = b_n - 1$ より、$a_n = 2^n - 1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3 \cdot 4^{n-1} + 2$

(2) $a_n = 2^n - 1$