2次方程式 $x^2 - 6x + m = 0$ において、1つの解が他の解の5倍であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求める。

## 問題6

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 6x + m = 0$ において、1つの解が他の解の5倍であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求める。

2. 解き方の手順

2つの解を $\alpha$ と $5\alpha$ とおく。

解と係数の関係より、

$\alpha + 5\alpha = 6$

$\alpha \cdot 5\alpha = m$

1つ目の式から、$6\alpha = 6$ なので $\alpha = 1$。

これを2つ目の式に代入すると、$5\alpha^2 = m$ となり、$m = 5 \cdot 1^2 = 5$。

したがって、$m=5$ であり、2つの解は $\alpha = 1$ と $5\alpha = 5$ である。

3. 最終的な答え

$m = 5$

解は $x = 1, 5$

## 問題7

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 12x + m = 0$ において、2つの解の差が4であるとき、定数 $m$ の値と2つの解を求める。

2. 解き方の手順

2つの解を $\alpha$ と $\alpha + 4$ とおく。

解と係数の関係より、

$\alpha + (\alpha + 4) = -12$

$\alpha (\alpha + 4) = m$

1つ目の式から、$2\alpha + 4 = -12$ なので、$2\alpha = -16$、したがって $\alpha = -8$。

これを2つ目の式に代入すると、$m = \alpha (\alpha + 4) = (-8)(-8 + 4) = (-8)(-4) = 32$。

したがって、$m=32$ であり、2つの解は $\alpha = -8$ と $\alpha + 4 = -4$ である。

3. 最終的な答え

$m = 32$

解は $x = -8, -4$