与えられた3次方程式 $x^3 - 2(p+1)x^2 + (7p-2)x - 6p + q - 1 = 0$ (①) があり、これは異なる2つの虚数解と実数解 $x=2$ を持つ。ただし、$p, q$ は実数の定数である。 (1) $q$ の値を求める。 (2) 方程式①の左辺を因数分解し、$p$ のとり得る値の範囲を求める。 (3) 方程式①の3つの解の逆数の2乗の和が $\frac{5}{4}$ であるとき、$p$ の値を求め、方程式①の2つの虚数解を求める。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $x^3 - 2(p+1)x^2 + (7p-2)x - 6p + q - 1 = 0$ (①) があり、これは異なる2つの虚数解と実数解 $x=2$ を持つ。ただし、$p, q$ は実数の定数である。

(1) $q$ の値を求める。

(2) 方程式①の左辺を因数分解し、$p$ のとり得る値の範囲を求める。

(3) 方程式①の3つの解の逆数の2乗の和が $\frac{5}{4}$ であるとき、$p$ の値を求め、方程式①の2つの虚数解を求める。

2. 解き方の手順

(1) 方程式①は $x=2$ を解に持つので、$x=2$ を代入すると

$2^3 - 2(p+1)2^2 + (7p-2)2 - 6p + q - 1 = 0$

$8 - 8(p+1) + 14p - 4 - 6p + q - 1 = 0$

$8 - 8p - 8 + 14p - 4 - 6p + q - 1 = 0$

$0p - 5 + q = 0$

$q = 5$

(2) $q = 5$ を①に代入すると、

$x^3 - 2(p+1)x^2 + (7p-2)x - 6p + 5 - 1 = 0$

$x^3 - 2(p+1)x^2 + (7p-2)x - 6p + 4 = 0$

$x=2$ を解に持つので、$x-2$ で因数分解できる。組立除法を使う。

| | 1 | -2p-2 | 7p-2 | -6p+4 |

|-----|-----|--------|--------|-------|

| 2 | | 2 | -4p | 6p-4 |

| | 1 | -2p | 3p-2 | 0 |

よって、

$(x-2)(x^2 - 2px + 3p-2) = 0$

したがって、$x^2 - 2px + 3p-2 = 0$ が2つの虚数解を持つ。判別式を $D$ とすると、

$D/4 = p^2 - (3p-2) < 0$

$p^2 - 3p + 2 < 0$

$(p-1)(p-2) < 0$

$1 < p < 2$

(3) 3つの解を $\alpha, \beta, 2$ とすると、$\alpha, \beta$ は $x^2 - 2px + 3p - 2 = 0$ の解なので、解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 2p$, $\alpha\beta = 3p-2$ 。

解の逆数の2乗の和は

$\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} + \frac{1}{2^2} = \frac{5}{4}$

$\frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha\beta)^2} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

$\frac{(\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2} = 1$

$\frac{(2p)^2 - 2(3p-2)}{(3p-2)^2} = 1$

$4p^2 - 6p + 4 = (3p-2)^2$

$4p^2 - 6p + 4 = 9p^2 - 12p + 4$

$5p^2 - 6p = 0$

$p(5p - 6) = 0$

$p=0, \frac{6}{5}$

条件 $1 < p < 2$ より、$p = \frac{6}{5}$

$x^2 - 2(\frac{6}{5})x + 3(\frac{6}{5}) - 2 = 0$

$x^2 - \frac{12}{5}x + \frac{18}{5} - \frac{10}{5} = 0$

$x^2 - \frac{12}{5}x + \frac{8}{5} = 0$

$5x^2 - 12x + 8 = 0$

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 160}}{10} = \frac{12 \pm \sqrt{-16}}{10} = \frac{12 \pm 4i}{10} = \frac{6 \pm 2i}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $q=5$

(2) $(x-2)(x^2 - 2px + 3p-2) = 0$, $1 < p < 2$

(3) $p=\frac{6}{5}$, 虚数解 $x = \frac{6 \pm 2i}{5}$