## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

この問題は、3つの問いから構成されています。

* **問い1:** 2次関数 $y = x^2 + ax + 5$ について、(1) x軸と2点で交わる条件、(2) x軸と1点で接する条件、(3) x軸と交わらない条件を求める問題です。

* **問い2:** 2次関数 $y = x^2 - kx + 2k + 5$ がx軸と接するとき、kの値を求める問題です。

* **問い3:** 2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ が3点 $(-2, 9)$, $(1, -6)$, $(4, -3)$ を通るとき、a, b, c の値を求める問題です。

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2. 解き方の手順

**問い1:**

2次関数 $y = x^2 + ax + 5$ の判別式を $D$ とすると、$D = b^2 - 4ac$ であり、この問題の場合は $D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = a^2 - 20$ となります。

* (1) x軸と2点で交わる条件：$D > 0$ すなわち $a^2 - 20 > 0$

* (2) x軸と1点で接する条件：$D = 0$ すなわち $a^2 - 20 = 0$

* (3) x軸と交わらない条件：$D < 0$ すなわち $a^2 - 20 < 0$

**問い2:**

2次関数 $y = x^2 - kx + 2k + 5$ がx軸と接するということは、判別式 $D = 0$ となるということです。

$D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2k + 5) = k^2 - 8k - 20$

$k^2 - 8k - 20 = 0$

$(k - 10)(k + 2) = 0$

よって $k = 10$ または $k = -2$

**問い3:**

3点 $(-2, 9)$, $(1, -6)$, $(4, -3)$ を $y = ax^2 + bx + c$ に代入すると、次の3つの式が得られます。

1. $4a - 2b + c = 9$

2. $a + b + c = -6$

3. $16a + 4b + c = -3$

この連立方程式を解きます。

式1 - 式2より、$3a - 3b = 15$ $\Rightarrow$ $a - b = 5$ $\Rightarrow$ $a = b + 5$ (式4)

式3 - 式2より、$15a + 3b = 3$ $\Rightarrow$ $5a + b = 1$ (式5)

式5に式4を代入すると、

$5(b + 5) + b = 1$

$6b + 25 = 1$

$6b = -24$

$b = -4$

式4より、$a = -4 + 5 = 1$

式2に$a = 1, b = -4$を代入すると、

$1 - 4 + c = -6$

$c = -3$

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3. 最終的な答え

* **問い1:**

* (1) $a^2 > 20$

* (2) $a^2 = 20$

* (3) $a^2 < 20$

* **問い2:**

* $k = 10, -2$

* **問い3:**

* $a = 1, b = -4, c = -3$