2次方程式 $x^2 - 2mx - m + 6 = 0$ が異なる2つの正の解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx - m + 6 = 0$ が異なる2つの正の解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

この2次方程式が異なる2つの正の解を持つ条件は以下の通りです。

* 判別式 $D > 0$ （異なる2つの実数解を持つ）

* 2つの解の和が正

* 2つの解の積が正

判別式 $D$ について：

$D = (-2m)^2 - 4(1)(-m+6) = 4m^2 + 4m - 24 > 0$

$m^2 + m - 6 > 0$

$(m+3)(m-2) > 0$

よって、$m < -3$ または $m > 2$

解と係数の関係から：

* 2つの解の和は $2m$

* 2つの解の積は $-m + 6$

2つの解の和が正である条件：

$2m > 0$

$m > 0$

2つの解の積が正である条件：

$-m + 6 > 0$

$m < 6$

これらの条件を全て満たす $m$ の範囲を求めます。

* $m < -3$ または $m > 2$

* $m > 0$

* $m < 6$

$m > 2$ と $m > 0$ と $m < 6$ の共通範囲は $2 < m < 6$

$m < -3$ は $m > 0$ と矛盾するので考慮しません。

3. 最終的な答え

$2 < m < 6$