数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その初項は $a_1 = 5$ であり、漸化式は $a_{n+1} = a_n + 2^n$ で定義されています。この数列の一般項 $a_n$ を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その初項は $a_1 = 5$ であり、漸化式は $a_{n+1} = a_n + 2^n$ で定義されています。この数列の一般項 $a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

この漸化式は階差数列の形をしているため、次の手順で一般項を求めます。

ステップ1：漸化式を変形する。

$a_{n+1} - a_n = 2^n$

ステップ2：$n \ge 2$ のとき、$a_n$を求める。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k$

ステップ3：等比数列の和の公式を利用して$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k$を計算する。

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k = \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^n - 2$

ステップ4：$a_n$の式に$a_1$と$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k$を代入する。

$a_n = 5 + 2^n - 2 = 2^n + 3$ ($n \ge 2$)

ステップ5：$n=1$の場合に、$a_n = 2^n + 3$が成立するか確認する。

$a_1 = 2^1 + 3 = 2 + 3 = 5$ であるため、$n=1$の場合も成立する。

ステップ6：結論として、$n \ge 1$ において、$a_n = 2^n + 3$である。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^n + 3$