問題1は、7つの文字 A, A, A, B, C, D, E を横一列に並べる問題です。 (1) Aが隣り合わない並べ方の総数を求めます。 (2) C, D, E がこの順に並ぶような並べ方の総数を求めます。ただし、C, D, E の間に他の文字が入る場合も含むとします。 問題2は、正八角形の頂点から3つ選んで三角形を作る問題です。 (1) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数を求めます。 (2) 正八角形と辺を共有しない三角形の個数を求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題1は、7つの文字 A, A, A, B, C, D, E を横一列に並べる問題です。

(1) Aが隣り合わない並べ方の総数を求めます。

(2) C, D, E がこの順に並ぶような並べ方の総数を求めます。ただし、C, D, E の間に他の文字が入る場合も含むとします。

問題2は、正八角形の頂点から3つ選んで三角形を作る問題です。

(1) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数を求めます。

(2) 正八角形と辺を共有しない三角形の個数を求めます。

2. 解き方の手順

問題1 (1) Aが隣り合わない並べ方

まず、A以外の4つの文字 B, C, D, E を並べます。その並べ方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通りです。

次に、並べられた4つの文字の間と両端の5か所のうち、3か所を選んで A を配置します。この選び方は ${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

したがって、Aが隣り合わない並べ方は $24 \times 10 = 240$ 通りです。

問題1 (2) C, D, E がこの順に並ぶ並べ方

まず、7つの文字を並べる総数を考えます。3つの A は区別できないので、総数は $\frac{7!}{3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$ 通りです。

C, D, E の並び順は 3! = 6 通りありますが、このうち C, D, E の順に並んでいるのは1通りだけです。

したがって、C, D, E がこの順に並ぶ並べ方は $\frac{840}{6} = 140$ 通りです。

問題2 (1) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数

正八角形の隣り合う2つの辺を共有する三角形は、8個あります。これは、各頂点に対して、その頂点から隣接する2つの頂点を選んで三角形を作ることで求められます。

問題2 (2) 正八角形と辺を共有しない三角形の個数

正八角形の頂点から3つを選んで三角形を作る総数は、${}_8 C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通りです。

正八角形と1辺を共有する三角形の個数は、各辺に対して4個の三角形が存在します。正八角形には8つの辺があるので、$8 \times 4 = 32$ 個です。ただし、正八角形と2辺を共有する三角形は、1辺を共有する三角形としても数えられているので、これを引く必要があります。正八角形と2辺を共有する三角形は8個なので、$32 - 8 \times 2 = 16$ 個と修正する必要がありそうです。

正八角形と2辺を共有する三角形は8個です。

正八角形と1辺を共有する三角形の個数は、正八角形の各辺について、残りの頂点から1つ選ぶことで決まります。ただし、選んだ頂点がその辺の隣の頂点である場合は、2辺を共有することになるので、除外する必要があります。したがって、各辺について4つの頂点を選ぶことができるので、$8 \times 4 = 32$ 個です。

したがって、正八角形と辺を共有しない三角形の個数は、$56 - 32 - 8 = 16$ 個です。

別の解法：

頂点から3つ選ぶとき、選んだ3つの頂点が連続している場合は2辺を共有する三角形になります。

選んだ3つの頂点のうち2つが隣り合っている場合を考えます。隣り合う2頂点の選び方は8通りあります。残りの1つの頂点は隣り合っていない頂点から選ぶ必要があるので、4通りあります。したがって、2辺を共有する三角形を除いて $8 \times 4 = 32$ 通りです。しかし、この中には2辺を共有する三角形も含まれているので、2辺を共有する三角形を除くと、1辺を共有する三角形は $8 \times 4 = 32$ 個と求められます。

辺を共有しない三角形の数は、$56 - 32 - 8 = 16$ 個です。

3. 最終的な答え

問題1 (1): 240通り

問題1 (2): 140通り

問題2 (1): 8個

問題2 (2): 16個