関数 $y = (x^4 + 3x^2 - 2)^5$ を微分せよ。

はい、承知いたしました。問題文の中からいくつか選んで解いていきます。

**問題 56(1)**

1. 問題の内容

関数 $y = (x^4 + 3x^2 - 2)^5$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を用いる。$u = x^4 + 3x^2 - 2$ とおくと、$y = u^5$ である。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ であるから、それぞれの微分を計算する。

$\frac{dy}{du} = 5u^4$

$\frac{du}{dx} = 4x^3 + 6x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 5(x^4 + 3x^2 - 2)^4 (4x^3 + 6x) = 10x(2x^2+3)(x^4 + 3x^2 - 2)^4$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 10x(2x^2+3)(x^4 + 3x^2 - 2)^4$

**問題 57(2)**

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{\cos x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

$y = (\cos x)^{-1}$と変形し、合成関数の微分法を用いる。

$\frac{dy}{dx} = -1 (\cos x)^{-2} \cdot (-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} = \tan x \cdot \frac{1}{\cos x}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{\tan x}{\cos x}$

**問題 58(1)**

1. 問題の内容

関数 $y = \log \frac{(x+2)^3}{(2x+1)^2}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

対数の性質を利用して関数を簡単にする。

$y = \log (x+2)^3 - \log (2x+1)^2 = 3 \log (x+2) - 2 \log (2x+1)$

それぞれの項を微分する。

$\frac{d}{dx} [3 \log (x+2)] = 3 \cdot \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x+2}$

$\frac{d}{dx} [2 \log (2x+1)] = 2 \cdot \frac{2}{2x+1} = \frac{4}{2x+1}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{x+2} - \frac{4}{2x+1} = \frac{3(2x+1) - 4(x+2)}{(x+2)(2x+1)} = \frac{6x+3 - 4x - 8}{(x+2)(2x+1)} = \frac{2x-5}{(x+2)(2x+1)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x-5}{(x+2)(2x+1)}$

**問題 59**

1. 問題の内容

関数 $y = x^{3x}$ を対数微分法で微分せよ。ただし、$x > 0$ とする。

2. 解き方の手順

両辺の自然対数をとる。

$\log y = \log (x^{3x}) = 3x \log x$

両辺を $x$ で微分する。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3 \log x + 3x \cdot \frac{1}{x} = 3 \log x + 3$

$\frac{dy}{dx} = y (3 \log x + 3) = x^{3x} (3 \log x + 3) = 3x^{3x}(\log x + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 3x^{3x}(\log x + 1)$