極限 $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2x - 3}{x+1}$ を計算します。

## 問題 1

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2x - 3}{x+1}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分子を因数分解します。

$x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$

よって、

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2x - 3}{x+1} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-3)(x+1)}{x+1}$

$x \to 2$ のとき、$x \neq -1$ なので、$x+1$ で約分できます。

$\lim_{x \to 2} \frac{(x-3)(x+1)}{x+1} = \lim_{x \to 2} (x-3)$

$x$ に $2$ を代入すると、

$\lim_{x \to 2} (x-3) = 2-3 = -1$

3. 最終的な答え

-1

## 問題 2

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - x - 6}{x-3}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分子を因数分解します。

$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$

よって、

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - x - 6}{x-3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+2)}{x-3}$

$x \to 3$ のとき、$x \neq 3$ なので、$x-3$ で約分できます。

$\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+2)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (x+2)$

$x$ に $3$ を代入すると、

$\lim_{x \to 3} (x+2) = 3+2 = 5$

3. 最終的な答え

5

## 問題 3

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{1}{x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ なので、

$\int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{x} + C$ (Cは積分定数)

## 問題 4

1. 問題の内容

不定積分 $\int \sqrt{x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ なので、

$\int \sqrt{x} dx = \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$ (Cは積分定数)

## 問題 5

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$ なので、

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2x^{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{x} + C$ (Cは積分定数)