$\log\frac{1-x}{1+x}$ の $x^{21}$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$\log\frac{1-x}{1+x}$ の $x^{21}$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\log\frac{1-x}{1+x}$ を変形します。

$\log\frac{1-x}{1+x} = \log(1-x) - \log(1+x)$

次に、$\log(1-x)$ と $\log(1+x)$ をそれぞれマクローリン展開します。

$\log(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots$

$\log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$

したがって、

$\log(1-x) - \log(1+x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} - \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} = -\sum_{n=1}^{\infty} (1+(-1)^{n-1})\frac{x^n}{n}$

$1+(-1)^{n-1}$ は、$n$が偶数のとき0となり、$n$が奇数のとき2となります。

したがって、

$\log(1-x) - \log(1+x) = -\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2 x^{2k-1}}{2k-1} = -2\left(x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots\right)$

$x^{21}$ の係数は、$2k-1 = 21$ となる $k$、つまり $k=11$ の項に着目します。

このとき、係数は $-\frac{2}{21}$ となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{2}{21}$