$\log \frac{1-x}{1+x}$ の展開式における $x^{21}$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$\log \frac{1-x}{1+x}$ の展開式における $x^{21}$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して式を整理します。

$\log \frac{1-x}{1+x} = \log (1-x) - \log (1+x)$

次に、$\log (1-x)$ と $\log (1+x)$ をそれぞれマクローリン展開します。

$\log(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - ... = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ... = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$

したがって、

$\log \frac{1-x}{1+x} = \log (1-x) - \log (1+x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} - \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{n} - \frac{(-1)^{n-1}}{n} )x^n$

$= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-1 - (-1)^{n-1}}{n} x^n$

$x^{21}$ の係数を求めたいので、$n = 21$ の場合を考えます。

$x^{21}$の係数は、

$\frac{-1 - (-1)^{21-1}}{21} = \frac{-1 - (-1)^{20}}{21} = \frac{-1 - 1}{21} = -\frac{2}{21}$

3. 最終的な答え

$-\frac{2}{21}$