曲線 $K: y = \cos 2x (-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4})$ と $y$軸との交点を$P$とし、曲線$K$上に点$P$と異なる点$Q(t, \cos 2t)$をとる。線分$PQ$の垂直二等分線$l$が$y$軸と交わる点を$R$とする。 (1) 点$R$の$y$座標を$t$を用いて表せ。 (2) 2点$P$, $Q$を通り、点$P$で曲線$K$と共通な接線をもつ円を$C$とする。点$Q$が点$P$に限りなく近づくとき、円$C$の半径$r$はどのような値に近づくか。

1. 問題の内容

曲線 $K: y = \cos 2x (-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4})$ と $y$軸との交点を$P$とし、曲線$K$上に点$P$と異なる点$Q(t, \cos 2t)$をとる。線分$PQ$の垂直二等分線$l$が$y$軸と交わる点を$R$とする。

(1) 点$R$の$y$座標を$t$を用いて表せ。

(2) 2点$P$, $Q$を通り、点$P$で曲線$K$と共通な接線をもつ円を$C$とする。点$Q$が点$P$に限りなく近づくとき、円$C$の半径$r$はどのような値に近づくか。

2. 解き方の手順

(1)

点$P$は$y$軸との交点なので、$x=0$である。よって、$P(0, \cos(2 \cdot 0)) = P(0, 1)$である。

点$Q(t, \cos 2t)$と点$P(0, 1)$の中点$M$は、

$M(\frac{t+0}{2}, \frac{\cos 2t + 1}{2}) = M(\frac{t}{2}, \frac{\cos 2t + 1}{2})$

線分$PQ$の傾きは、

$\frac{\cos 2t - 1}{t - 0} = \frac{\cos 2t - 1}{t}$

よって、線分$PQ$の垂直二等分線$l$の傾きは、$-\frac{t}{\cos 2t - 1}$

垂直二等分線$l$の方程式は、

$y - \frac{\cos 2t + 1}{2} = -\frac{t}{\cos 2t - 1}(x - \frac{t}{2})$

$l$が$y$軸と交わる点$R$は、$x=0$である。

$y - \frac{\cos 2t + 1}{2} = -\frac{t}{\cos 2t - 1}(0 - \frac{t}{2})$

$y = \frac{\cos 2t + 1}{2} + \frac{t^2}{2(\cos 2t - 1)}$

$y = \frac{(\cos 2t + 1)(\cos 2t - 1) + t^2}{2(\cos 2t - 1)}$

$y = \frac{\cos^2 2t - 1 + t^2}{2(\cos 2t - 1)}$

$y = \frac{-\sin^2 2t + t^2}{2(\cos 2t - 1)}$

(2)

点$P(0, 1)$における曲線$K: y = \cos 2x$の接線を求める。

$y' = -2\sin 2x$

$x = 0$のとき、$y' = -2\sin(2 \cdot 0) = 0$

よって、点$P(0, 1)$における接線は$y = 1$である。

点$P(0, 1)$で直線$y=1$に接し、点$Q(t, \cos 2t)$を通る円$C$を考える。

円$C$の中心を$(a, b)$、半径を$r$とする。

円の方程式は$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

円は点$P(0, 1)$を通るので、$(0-a)^2 + (1-b)^2 = r^2$

円は点$Q(t, \cos 2t)$を通るので、$(t-a)^2 + (\cos 2t - b)^2 = r^2$

$a^2 + (1-b)^2 = (t-a)^2 + (\cos 2t - b)^2$

$a^2 + 1 - 2b + b^2 = t^2 - 2ta + a^2 + \cos^2 2t - 2b\cos 2t + b^2$

$1 - 2b = t^2 - 2ta + \cos^2 2t - 2b\cos 2t$

$2b(\cos 2t - 1) = t^2 + \cos^2 2t - 1$

$2b(\cos 2t - 1) = t^2 - \sin^2 2t$

$b = \frac{t^2 - \sin^2 2t}{2(\cos 2t - 1)}$

点$P(0, 1)$で円と接線$y=1$が接するので、$a=0$。

$r^2 = (1 - b)^2$

$r = |1 - b|$

$r = |1 - \frac{t^2 - \sin^2 2t}{2(\cos 2t - 1)}|$

$r = |\frac{2(\cos 2t - 1) - (t^2 - \sin^2 2t)}{2(\cos 2t - 1)}|$

$r = |\frac{2\cos 2t - 2 - t^2 + \sin^2 2t}{2(\cos 2t - 1)}|$

ここで、$t \to 0$のとき、$r$がどのような値に近づくか考える。

$\cos 2t = 1 - \frac{(2t)^2}{2!} + \frac{(2t)^4}{4!} - \cdots = 1 - 2t^2 + \frac{2}{3}t^4 - \cdots$

$\sin 2t = 2t - \frac{(2t)^3}{3!} + \frac{(2t)^5}{5!} - \cdots = 2t - \frac{4}{3}t^3 + \frac{4}{15}t^5 - \cdots$

$\sin^2 2t = (2t - \frac{4}{3}t^3 + \frac{4}{15}t^5 - \cdots)^2 = 4t^2 - \frac{16}{3}t^4 + \cdots$

$r = |\frac{2(1 - 2t^2 + \frac{2}{3}t^4 - \cdots) - 2 - t^2 + (4t^2 - \frac{16}{3}t^4 + \cdots)}{2(1 - 2t^2 + \frac{2}{3}t^4 - \cdots - 1)}|$

$r = |\frac{2 - 4t^2 - 2 - t^2 + 4t^2 + O(t^4)}{2(-2t^2 + \frac{2}{3}t^4 - \cdots)}|$

$r = |\frac{-t^2 + O(t^4)}{-4t^2 + O(t^4)}|$

$r = |\frac{-1 + O(t^2)}{-4 + O(t^2)}|$

$t \to 0$のとき、$r \to |\frac{-1}{-4}| = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $R$の$y$座標: $\frac{t^2 - \sin^2 2t}{2(\cos 2t - 1)}$

(2) 円$C$の半径$r$が近づく値: $\frac{1}{4}$