与えられた微分方程式を初期条件のもとで解く問題です。 (1) 微分方程式 $y' = \cos x$ を初期条件 $x = \pi, y = 1$ のもとで解く。 (2) 微分方程式 $y' = e^{2x}$ を初期条件 $x = 0, y = 0$ のもとで解く。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を初期条件のもとで解く問題です。

(1) 微分方程式 $y' = \cos x$ を初期条件 $x = \pi, y = 1$ のもとで解く。

(2) 微分方程式 $y' = e^{2x}$ を初期条件 $x = 0, y = 0$ のもとで解く。

2. 解き方の手順

(1) $y' = \cos x$ の解を求める。

$y = \int \cos x \, dx = \sin x + C$

初期条件 $x = \pi, y = 1$ を代入する。

$1 = \sin \pi + C = 0 + C$

したがって、$C = 1$。

(2) $y' = e^{2x}$ の解を求める。

$y = \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C$

初期条件 $x = 0, y = 0$ を代入する。

$0 = \frac{1}{2} e^{2(0)} + C = \frac{1}{2} e^{0} + C = \frac{1}{2} + C$

したがって、$C = -\frac{1}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $y = \sin x + 1$

(2) $y = \frac{1}{2}e^{2x} - \frac{1}{2}$