以下の4つの不定積分を計算し、空欄を埋める問題です。 (1) $\int \frac{3x^2+8x+5}{x+3} dx = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 \log|x+3| + C$ (2) $\int \frac{3}{(x-1)x} dx = 5\log|x| - 6 - 7\log|x| + C$ (3) $\int (\cos^2 x + 2\sin x \cos x) dx = \frac{x}{8} + \frac{\sin 2x}{9} - \frac{\cos 2x}{10} + C$ (4) $\int \sin^3 x \cos x dx = \frac{11}{12} \sin^4 x + C$

1. 問題の内容

以下の4つの不定積分を計算し、空欄を埋める問題です。

(1) $\int \frac{3x^2+8x+5}{x+3} dx = \frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 \log|x+3| + C$

(2) $\int \frac{3}{(x-1)x} dx = 5\log|x| - 6 - 7\log|x| + C$

(3) $\int (\cos^2 x + 2\sin x \cos x) dx = \frac{x}{8} + \frac{\sin 2x}{9} - \frac{\cos 2x}{10} + C$

(4) $\int \sin^3 x \cos x dx = \frac{11}{12} \sin^4 x + C$

2. 解き方の手順

(1) 被積分関数を整理します。

$3x^2+8x+5$ を $x+3$ で割ると、$3x-1$ 余り $8$ となります。

したがって、

$\frac{3x^2+8x+5}{x+3} = 3x - 1 + \frac{8}{x+3}$

$\int (3x-1+\frac{8}{x+3}) dx = \frac{3}{2}x^2 - x + 8\log|x+3| + C$

よって、空欄は $\frac{3}{2}, 1, 8$ となります。

(2) 被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{3}{(x-1)x} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x}$

$3 = Ax + B(x-1)$

$x=1$ のとき $A = 3$

$x=0$ のとき $B = -3$

したがって、$\frac{3}{(x-1)x} = \frac{3}{x-1} - \frac{3}{x}$

$\int (\frac{3}{x-1} - \frac{3}{x})dx = 3\log|x-1| - 3\log|x| + C$

$= 3 \log|x-1| - 3\log|x| + C$

(3) 被積分関数を整理します。

$\cos^2 x + 2\sin x \cos x = \frac{1+\cos 2x}{2} + \sin 2x$

$\int (\frac{1+\cos 2x}{2} + \sin 2x)dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x - \frac{1}{2}\cos 2x + C$

よって、空欄は $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}$ となります。

(4) $\sin x = t$ と置換すると、$\cos x dx = dt$ となります。

$\int \sin^3 x \cos x dx = \int t^3 dt = \frac{1}{4}t^4 + C = \frac{1}{4} \sin^4 x + C$

よって、空欄は $\frac{1}{4}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2}, 1, 8$

(2) $3\log|x-1| - 3\log|x| + C$

(3) $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}$

(4) $\frac{1}{4}$