与えられた関数 $y = \frac{\log x}{x}$ について、以下の問いに答えます。 (1) グラフを描き、凹凸を調べる。 (2) 関数の最大値を求める。 (3) $e^{\pi}$ と $\pi^e$ のどちらが大きいかを判定する。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{\log x}{x}$ について、以下の問いに答えます。

(1) グラフを描き、凹凸を調べる。

(2) 関数の最大値を求める。

(3) $e^{\pi}$ と $\pi^e$ のどちらが大きいかを判定する。

2. 解き方の手順

(1) グラフの概形を調べる。

まず、定義域は $x > 0$ である。

次に、導関数を求める。

$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

$y' = 0$ となるのは $1 - \log x = 0$ のとき、つまり $\log x = 1$ のとき。したがって $x = e$。

$x < e$ のとき $y' > 0$ であり、$x > e$ のとき $y' < 0$ であるから、$x = e$ で極大値をとる。極大値は $y(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$。

次に、二階導関数を求める。

$y'' = \frac{(-\frac{1}{x})x^2 - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{-3 + 2 \log x}{x^3}$

$y'' = 0$ となるのは $-3 + 2 \log x = 0$ のとき、つまり $\log x = \frac{3}{2}$ のとき。したがって $x = e^{3/2}$。

$x < e^{3/2}$ のとき $y'' < 0$ であり、$x > e^{3/2}$ のとき $y'' > 0$ であるから、$x = e^{3/2}$ で変曲点を持つ。

$x \to 0$ のとき $y \to -\infty$ であり、$x \to \infty$ のとき $y \to 0$ である。

以上の情報からグラフを描くことができる。

(2) 最大値を求める。

(1) で求めたように、$x = e$ で極大値 $y = \frac{1}{e}$ をとる。また、$x \to \infty$ で $y \to 0$ であり、$x \to 0$ で $y \to -\infty$ であるから、$x=e$で最大値をとる。

したがって、最大値は $\frac{1}{e}$。

(3) $e^{\pi}$ と $\pi^e$ の大小を比較する。

$f(x) = \frac{\log x}{x}$ とおくと、$f'(x) = \frac{1 - \log x}{x^2}$ である。(1)を参照)

$e^{\pi}$ と $\pi^e$ の大小を比較するために、両辺の対数をとると、

$\log(e^{\pi}) = \pi$ および $\log(\pi^e) = e \log \pi$。

$e^{\pi} > \pi^e$ となるのは、$\pi > e \log \pi$ のとき、つまり $\frac{\log e}{e} < \frac{\log \pi}{\pi}$ のときである。

これは $f(e) < f(\pi)$ を意味する。

(1)で求めたように、$e$ で極大値をとるので、$e < \pi$ より、$f(e) > f(\pi)$。

したがって、$f(e) = \frac{1}{e}$、$f(\pi) = \frac{\log \pi}{\pi}$.

$\frac{1}{e} > \frac{\log \pi}{\pi}$、すなわち $\pi > e \log \pi$.

これは $\pi > \log \pi^e$ を意味する。

$\pi < e$ であれば、$e^{\pi} < \pi^e$。$f(x)$は$x=e$で最大となる。$e < \pi$より、$f(e) > f(\pi)$となる。

$\frac{\log e}{e} > \frac{\log \pi}{\pi}$、$\frac{1}{e} > \frac{\log \pi}{\pi}$、よって$\pi > e \log \pi$、よって$e^\pi > \pi^e$。

3. 最終的な答え

(1) グラフは省略。（上記の手順を参考に描画してください）

(2) 最大値: $\frac{1}{e}$

(3) $e^{\pi} > \pi^e$