導関数の定義に従って、$f(x) = \frac{1}{x^2}$ を微分する問題です。

1. 問題の内容

導関数の定義に従って、$f(x) = \frac{1}{x^2}$ を微分する問題です。

2. 解き方の手順

導関数の定義は次の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

この定義を使って、$f(x) = \frac{1}{x^2}$ を微分します。

ステップ1: $f(x+h)$ を計算します。

$f(x+h) = \frac{1}{(x+h)^2}$

ステップ2: $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ を計算します。

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{\frac{1}{(x+h)^2} - \frac{1}{x^2}}{h}$

$= \frac{x^2 - (x+h)^2}{h(x+h)^2 x^2}$

$= \frac{x^2 - (x^2 + 2xh + h^2)}{h(x+h)^2 x^2}$

$= \frac{-2xh - h^2}{h(x+h)^2 x^2}$

$= \frac{-2x - h}{(x+h)^2 x^2}$

ステップ3: $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ を計算します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-2x - h}{(x+h)^2 x^2}$

$= \frac{-2x - 0}{(x+0)^2 x^2}$

$= \frac{-2x}{x^4}$

$= \frac{-2}{x^3}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = -\frac{2}{x^3}$