導関数の定義に従って、関数 $f(x) = (2x - 1)^3$ を微分せよ。

1. 問題の内容

導関数の定義に従って、関数 $f(x) = (2x - 1)^3$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

導関数の定義は次の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

まず、$f(x + h)$ を計算します。

$f(x + h) = (2(x + h) - 1)^3 = (2x + 2h - 1)^3$

次に、$f(x + h) - f(x)$ を計算します。

$f(x + h) - f(x) = (2x + 2h - 1)^3 - (2x - 1)^3$

ここで、$A = 2x + 2h - 1$ および $B = 2x - 1$ と置くと、$A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$ となります。

$A - B = (2x + 2h - 1) - (2x - 1) = 2h$

$A^2 = (2x + 2h - 1)^2 = 4x^2 + 4h^2 + 1 + 8xh - 4x - 4h$

$AB = (2x + 2h - 1)(2x - 1) = 4x^2 + 4xh - 2x - 2x - 2h + 1 = 4x^2 + 4xh - 4x - 2h + 1$

$B^2 = (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$

$A^2 + AB + B^2 = (4x^2 + 4h^2 + 1 + 8xh - 4x - 4h) + (4x^2 + 4xh - 4x - 2h + 1) + (4x^2 - 4x + 1) = 12x^2 + 4h^2 + 12xh - 12x - 6h + 3$

したがって、$f(x + h) - f(x) = (2h)(12x^2 + 4h^2 + 12xh - 12x - 6h + 3)$

$\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{(2h)(12x^2 + 4h^2 + 12xh - 12x - 6h + 3)}{h} = 2(12x^2 + 4h^2 + 12xh - 12x - 6h + 3)$

ここで、$h \to 0$ の極限を取ります。

$\lim_{h \to 0} 2(12x^2 + 4h^2 + 12xh - 12x - 6h + 3) = 2(12x^2 - 12x + 3) = 24x^2 - 24x + 6$

したがって、$f'(x) = 24x^2 - 24x + 6 = 6(4x^2 - 4x + 1) = 6(2x - 1)^2$

3. 最終的な答え

$f'(x) = 6(2x - 1)^2$