$a>0$とする。放物線$y=ax^2$の$0 \le x \le l$の範囲の長さを求める。

1. 問題の内容

$a>0$とする。放物線$y=ax^2$の$0 \le x \le l$の範囲の長さを求める。

2. 解き方の手順

放物線$y=f(x)$の$a \le x \le b$における弧長$L$は、次の式で与えられる。

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx$$

この問題では、$f(x) = ax^2$であり、$a=0$、$b=l$である。

まず、$f'(x)$を求める。

$f'(x) = 2ax$

したがって、弧長$L$は

$$L = \int_0^l \sqrt{1 + (2ax)^2} dx = \int_0^l \sqrt{1 + 4a^2x^2} dx$$

ここで、$2ax = \sinh t$ と置換する。すると、$2a dx = \cosh t dt$より、$dx = \frac{1}{2a} \cosh t dt$となる。

また、$x=0$のとき、$t=0$、$x=l$のとき、$t = \sinh^{-1}(2al)$となる。

したがって、積分は

$$L = \int_0^{\sinh^{-1}(2al)} \sqrt{1 + \sinh^2 t} \cdot \frac{1}{2a} \cosh t dt = \frac{1}{2a} \int_0^{\sinh^{-1}(2al)} \cosh^2 t dt$$

$\cosh^2 t = \frac{1 + \cosh 2t}{2}$より、

$$L = \frac{1}{4a} \int_0^{\sinh^{-1}(2al)} (1 + \cosh 2t) dt = \frac{1}{4a} [t + \frac{1}{2} \sinh 2t]_0^{\sinh^{-1}(2al)}$$

$\sinh 2t = 2 \sinh t \cosh t$より、

$$L = \frac{1}{4a} [t + \sinh t \cosh t]_0^{\sinh^{-1}(2al)} = \frac{1}{4a} [\sinh^{-1}(2al) + 2al \sqrt{1 + 4a^2l^2}]$$

ここで、$\sinh^{-1} x = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ より、

$$L = \frac{1}{4a} [\log(2al + \sqrt{4a^2l^2 + 1}) + 2al \sqrt{1 + 4a^2l^2}]$$

$$L = \frac{1}{4a}\log(2al + \sqrt{4a^2l^2+1}) + \frac{l}{2}\sqrt{1+4a^2l^2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4a}\log(2al + \sqrt{4a^2l^2+1}) + \frac{l}{2}\sqrt{1+4a^2l^2}$