与えられた4つの不定積分を計算し、空欄を埋める問題です。 (1) $\int \frac{4x^2 + 3x + 2}{x+2} dx$ (2) $\int \frac{2}{(x+1)x} dx$ (3) $\int \sin^2 x dx$ (4) $\int \sin^2 x \cos x dx$

## 問題の解答

1. 問題の内容

与えられた4つの不定積分を計算し、空欄を埋める問題です。

(1) $\int \frac{4x^2 + 3x + 2}{x+2} dx$

(2) $\int \frac{2}{(x+1)x} dx$

(3) $\int \sin^2 x dx$

(4) $\int \sin^2 x \cos x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{4x^2 + 3x + 2}{x+2} dx$

まず、割り算を実行して被積分関数を簡単にする。

$4x^2 + 3x + 2 = (x+2)(4x-5) + 12$

したがって、

$\frac{4x^2 + 3x + 2}{x+2} = 4x - 5 + \frac{12}{x+2}$

積分は、

$\int (4x - 5 + \frac{12}{x+2}) dx = 2x^2 - 5x + 12 \log|x+2| + C$

(2) $\int \frac{2}{(x+1)x} dx$

部分分数分解を行う。

$\frac{2}{(x+1)x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$

$2 = A(x+1) + Bx$

$x=0$ のとき、$2 = A$, $A=2$

$x=-1$ のとき、$2 = -B$, $B=-2$

よって、$\frac{2}{(x+1)x} = \frac{2}{x} - \frac{2}{x+1}$

積分は、

$\int (\frac{2}{x} - \frac{2}{x+1}) dx = 2 \log|x| - 2 \log|x+1| + C$

(3) $\int \sin^2 x dx$

半角の公式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を使用する。

$\int \sin^2 x dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) dx = \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin 2x) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$

(4) $\int \sin^2 x \cos x dx$

$u = \sin x$ と置換する。 $du = \cos x dx$

$\int \sin^2 x \cos x dx = \int u^2 du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{\sin^3 x}{3} + C$

3. 最終的な答え

(1) $1: 2, 2: 5, 3: 1, 4: 2$

$2x^2 - 5x + 12 \log|x+2| + C$

(2) $5: 2, 6: 2, 7: 1$

$2 \log|x| - 2 \log|x+1| + C$

(3) $8: 2, 9: 4$

$\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$

(4) $10: 1, 11: 3$

$\frac{1}{3} \sin^3 x + C$