与えられた積分を計算し、空欄を埋める問題です。Cは積分定数です。 (1) $\int \frac{(x-1)^2}{\sqrt{x}} dx = \frac{1}{2}x^{\frac{5}{2}} - \frac{3}{4}x^{\frac{3}{2}} + 5\sqrt{x} + C$ の空欄を埋める。 (2) $\int \frac{1-\sin^2 x}{\cos^4 x} dx = 6 + C$ の空欄を、選択肢から選ぶ。 (3) $\int (7e^x + 3x^5) dx = 7e^x + \frac{8}{9}x^6 + C$ の空欄を埋める。 (4) $\int 5^x dx = \frac{5^x}{\log 10} + C$ の空欄を埋める。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算し、空欄を埋める問題です。Cは積分定数です。

(1) $\int \frac{(x-1)^2}{\sqrt{x}} dx = \frac{1}{2}x^{\frac{5}{2}} - \frac{3}{4}x^{\frac{3}{2}} + 5\sqrt{x} + C$ の空欄を埋める。

(2) $\int \frac{1-\sin^2 x}{\cos^4 x} dx = 6 + C$ の空欄を、選択肢から選ぶ。

(3) $\int (7e^x + 3x^5) dx = 7e^x + \frac{8}{9}x^6 + C$ の空欄を埋める。

(4) $\int 5^x dx = \frac{5^x}{\log 10} + C$ の空欄を埋める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、被積分関数を展開します。

$\frac{(x-1)^2}{\sqrt{x}} = \frac{x^2 - 2x + 1}{\sqrt{x}} = x^{\frac{3}{2}} - 2x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}$

次に、積分を計算します。

$\int (x^{\frac{3}{2}} - 2x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}) dx = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}} + C$

$= \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} + 2\sqrt{x} + C$

したがって、$\frac{1}{2}$ の箇所は$\frac{2}{5}$、$\frac{3}{4}$の箇所は$\frac{4}{3}$、$5$の箇所は$2$となります。

(2)

$1 - \sin^2 x = \cos^2 x$であるため、

$\int \frac{1 - \sin^2 x}{\cos^4 x} dx = \int \frac{\cos^2 x}{\cos^4 x} dx = \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \int \sec^2 x dx = \tan x + C$

したがって、空欄は$\tan x$です。

(3)

$\int (7e^x + 3x^5) dx = 7\int e^x dx + 3\int x^5 dx = 7e^x + 3\cdot\frac{1}{6}x^6 + C = 7e^x + \frac{1}{2}x^6 + C$

したがって、$7$の箇所は$7$、$\frac{8}{9}$の箇所は$\frac{1}{2}$となります。

(4)

$\int 5^x dx = \frac{5^x}{\log 5} + C$

したがって、$10$の箇所は$5$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$の箇所：$\frac{2}{5}$

$\frac{3}{4}$の箇所：$\frac{4}{3}$

$5$の箇所：$2$

(2) $6$：③ $\tan x$

(3) $7$の箇所：$7$

$\frac{8}{9}$の箇所：$\frac{1}{2}$

(4) $10$の箇所：$5$