次の定積分の値を求めよ。 (1) $\int_1^5 \frac{4x-5}{2x} dx$ (2) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\cos x| dx$ (3) $\int_0^5 \frac{1}{25+x^2} dx$ （ただし、$x = 5\tan\theta$ とおく） (4) $\int_{-2}^2 (x^5 - \frac{7}{5}x^3 + x^2 + \sqrt{5}x) dx$

以下に、画像の問題の解答を示します。

1. 問題の内容

次の定積分の値を求めよ。

(1) $\int_1^5 \frac{4x-5}{2x} dx$

(2) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\cos x| dx$

(3) $\int_0^5 \frac{1}{25+x^2} dx$ （ただし、$x = 5\tan\theta$ とおく）

(4) $\int_{-2}^2 (x^5 - \frac{7}{5}x^3 + x^2 + \sqrt{5}x) dx$

2. 解き方の手順

(1)

$\int_1^5 \frac{4x-5}{2x} dx = \int_1^5 (2 - \frac{5}{2x}) dx = [2x - \frac{5}{2}\log x]_1^5 = (10 - \frac{5}{2}\log 5) - (2 - \frac{5}{2}\log 1) = 8 - \frac{5}{2}\log 5$

よって、$\int_1^5 \frac{4x-5}{2x} dx = 8 - \frac{5}{2}\log 5$

(2)

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\cos x| dx = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = 2[\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} = 2(\sin\frac{\pi}{2} - \sin 0) = 2(1-0) = 2$

よって、$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\cos x| dx = 2$

(3)

$x = 5\tan\theta$ とおくと、$dx = \frac{5}{\cos^2\theta}d\theta$。

$x: 0 \to 5$ のとき、$\theta: 0 \to \frac{\pi}{4}$ となる。

$\int_0^5 \frac{1}{25+x^2} dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{25 + 25\tan^2\theta} \frac{5}{\cos^2\theta}d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{25(1+\tan^2\theta)} \frac{5}{\cos^2\theta}d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{25 \frac{1}{\cos^2\theta}} \frac{5}{\cos^2\theta}d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{5} d\theta = \frac{1}{5}[\theta]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{5}(\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{20}$

よって、$\int_0^5 \frac{1}{25+x^2} dx = \frac{\pi}{20}$

(4)

$\int_{-2}^2 (x^5 - \frac{7}{5}x^3 + x^2 + \sqrt{5}x) dx = \int_{-2}^2 x^5 dx - \frac{7}{5}\int_{-2}^2 x^3 dx + \int_{-2}^2 x^2 dx + \sqrt{5}\int_{-2}^2 x dx$

奇関数は積分区間が対称な場合、積分結果が0になることを利用する。

$\int_{-2}^2 x^5 dx = 0$, $\int_{-2}^2 x^3 dx = 0$, $\int_{-2}^2 x dx = 0$

$\int_{-2}^2 x^2 dx = 2\int_0^2 x^2 dx = 2[\frac{1}{3}x^3]_0^2 = 2(\frac{8}{3} - 0) = \frac{16}{3}$

よって、$\int_{-2}^2 (x^5 - \frac{7}{5}x^3 + x^2 + \sqrt{5}x) dx = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $8 - \frac{5}{2}\log 5$

(2) $2$

(3) $\frac{\pi}{20}$

(4) $\frac{16}{3}$