以下の4つの積分問題を解く。積分定数はKとする。 (1) $\int (3x+1)^3 dx$ (2) $\int (x^2 - 1)\sqrt{x+1} dx$ (3) $\int_0^{\frac{\pi}{12}} \cos(3x) dx$ (4) $\int_{-1}^2 |3x-1| dx$

1. 問題の内容

以下の4つの積分問題を解く。積分定数はKとする。

(1) $\int (3x+1)^3 dx$

(2) $\int (x^2 - 1)\sqrt{x+1} dx$

(3) $\int_0^{\frac{\pi}{12}} \cos(3x) dx$

(4) $\int_{-1}^2 |3x-1| dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (3x+1)^3 dx$

置換積分を行う。$u = 3x+1$ とおくと、$du = 3dx$ より $dx = \frac{1}{3}du$ となる。

$\int (3x+1)^3 dx = \int u^3 \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^3 du = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}u^4 + K = \frac{1}{12} u^4 + K = \frac{1}{12} (3x+1)^4 + K$

(2) $\int (x^2 - 1)\sqrt{x+1} dx$

置換積分を行う。$u = x+1$ とおくと、$x = u-1$ より、$x^2 = (u-1)^2 = u^2 - 2u + 1$ となる。また、$dx = du$。

$\int (x^2 - 1)\sqrt{x+1} dx = \int ((u-1)^2 - 1)\sqrt{u} du = \int (u^2 - 2u + 1 - 1)\sqrt{u} du = \int (u^2 - 2u)u^{\frac{1}{2}} du = \int (u^{\frac{5}{2}} - 2u^{\frac{3}{2}}) du = \frac{2}{7}u^{\frac{7}{2}} - 2 \cdot \frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} + K = \frac{2}{7}(x+1)^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}} + K$

(3) $\int_0^{\frac{\pi}{12}} \cos(3x) dx$

$\int \cos(3x) dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C$

$\int_0^{\frac{\pi}{12}} \cos(3x) dx = \left[\frac{1}{3}\sin(3x)\right]_0^{\frac{\pi}{12}} = \frac{1}{3}\sin(\frac{3\pi}{12}) - \frac{1}{3}\sin(0) = \frac{1}{3}\sin(\frac{\pi}{4}) - 0 = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{6}$

(4) $\int_{-1}^2 |3x-1| dx$

絶対値を外す。$3x-1 = 0$ より、$x = \frac{1}{3}$。

$x < \frac{1}{3}$ のとき $|3x-1| = -(3x-1) = -3x+1$

$x \geq \frac{1}{3}$ のとき $|3x-1| = 3x-1$

$\int_{-1}^2 |3x-1| dx = \int_{-1}^{\frac{1}{3}} (-3x+1) dx + \int_{\frac{1}{3}}^2 (3x-1) dx = \left[-\frac{3}{2}x^2 + x\right]_{-1}^{\frac{1}{3}} + \left[\frac{3}{2}x^2 - x\right]_{\frac{1}{3}}^2$

$= \left(-\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{3}{2} + (-1)\right) + \left(\frac{3}{2} \cdot 4 - 2\right) - \left(\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{9} - \frac{1}{3}\right)$

$= \left(-\frac{1}{6} + \frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{5}{2}\right) + (6-2) - \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{6} + \frac{5}{2} + 4 - \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{6} + \frac{15}{6} + \frac{24}{6} + \frac{1}{6} = \frac{41}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{12} (3x+1)^4 + K$

(2) $\frac{2}{7}(x+1)^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}} + K$

(3) $\frac{\sqrt{2}}{6}$

(4) $\frac{41}{6}$