第10項が30、第20項が0である等差数列 $\{a_n\}$ について、 (1) 初項と公差を求め、一般項を求めよ。 (2) -48は第何項か。

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6. の問題を解きます。

1. 問題の内容

第10項が30、第20項が0である等差数列 $\{a_n\}$ について、

(1) 初項と公差を求め、一般項を求めよ。

(2) -48は第何項か。

2. 解き方の手順

(1) 初項を$a$、公差を$d$とすると、等差数列の第$n$項は $a_n = a + (n-1)d$ で表される。

問題文より、

$a_{10} = a + 9d = 30$

$a_{20} = a + 19d = 0$

この2つの式から$a$と$d$を求める。

2つ目の式から1つ目の式を引くと、

$(a+19d) - (a+9d) = 0 - 30$

$10d = -30$

$d = -3$

これを$a+19d=0$に代入すると、

$a + 19(-3) = 0$

$a - 57 = 0$

$a = 57$

したがって、初項$a=57$、公差$d=-3$である。

一般項$a_n$は、

$a_n = a + (n-1)d = 57 + (n-1)(-3) = 57 - 3n + 3 = 60 - 3n$

(2) $a_n = -48$となる$n$を求める。

$60 - 3n = -48$

$-3n = -48 - 60$

$-3n = -108$

$n = \frac{-108}{-3}$

$n = 36$

3. 最終的な答え

(1) 初項: 57, 公差: -3, 一般項: $a_n = 60 - 3n$

(2) 第36項