与えられた関数を微分する問題です。具体的には以下の4つの関数について、それぞれの導関数を求めます。 (1) $y = (x^4 + 3x^2 - 2)^5$ (2) $s = \frac{1}{(t^2 - 4)^3}$ (3) $y = \sqrt[4]{x^2 + 3x + 2}$ (4) $s = \frac{1}{\sqrt[3]{(4-t^2)^2}}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には以下の4つの関数について、それぞれの導関数を求めます。

(1) $y = (x^4 + 3x^2 - 2)^5$

(2) $s = \frac{1}{(t^2 - 4)^3}$

(3) $y = \sqrt[4]{x^2 + 3x + 2}$

(4) $s = \frac{1}{\sqrt[3]{(4-t^2)^2}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = (x^4 + 3x^2 - 2)^5$

合成関数の微分法を用います。$u = x^4 + 3x^2 - 2$ とおくと、$y = u^5$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{dy}{du} = 5u^4$

$\frac{du}{dx} = 4x^3 + 6x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 5(x^4 + 3x^2 - 2)^4 (4x^3 + 6x) = 10x(2x^2 + 3)(x^4 + 3x^2 - 2)^4$

(2) $s = \frac{1}{(t^2 - 4)^3}$

これも合成関数の微分法を使います。$u = t^2 - 4$ とおくと、$s = \frac{1}{u^3} = u^{-3}$ です。

$\frac{ds}{dt} = \frac{ds}{du} \cdot \frac{du}{dt}$ となります。

$\frac{ds}{du} = -3u^{-4} = -\frac{3}{u^4}$

$\frac{du}{dt} = 2t$

したがって、

$\frac{ds}{dt} = -\frac{3}{(t^2 - 4)^4} \cdot 2t = -\frac{6t}{(t^2 - 4)^4}$

(3) $y = \sqrt[4]{x^2 + 3x + 2}$

これも合成関数の微分法を使います。$u = x^2 + 3x + 2$ とおくと、$y = u^{1/4}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{4}u^{-3/4} = \frac{1}{4\sqrt[4]{u^3}}$

$\frac{du}{dx} = 2x + 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4(x^2 + 3x + 2)^{3/4}} (2x + 3) = \frac{2x + 3}{4\sqrt[4]{(x^2 + 3x + 2)^3}}$

(4) $s = \frac{1}{\sqrt[3]{(4-t^2)^2}}$

これも合成関数の微分法を使います。$u = 4 - t^2$ とおくと、$s = \frac{1}{\sqrt[3]{u^2}} = u^{-2/3}$ です。

$\frac{ds}{dt} = \frac{ds}{du} \cdot \frac{du}{dt}$ となります。

$\frac{ds}{du} = -\frac{2}{3}u^{-5/3} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{u^5}}$

$\frac{du}{dt} = -2t$

したがって、

$\frac{ds}{dt} = -\frac{2}{3(4-t^2)^{5/3}} \cdot (-2t) = \frac{4t}{3\sqrt[3]{(4-t^2)^5}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 10x(2x^2 + 3)(x^4 + 3x^2 - 2)^4$

(2) $\frac{ds}{dt} = -\frac{6t}{(t^2 - 4)^4}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x + 3}{4\sqrt[4]{(x^2 + 3x + 2)^3}}$

(4) $\frac{ds}{dt} = \frac{4t}{3\sqrt[3]{(4-t^2)^5}}$