$y = 15x^2 - 0.75x + 9$ のグラフが $x$ 軸と2点で交わっているか、1点で接しているか、まったく交わっていないかを答える。

## 問1

1. 問題の内容

$y = 15x^2 - 0.75x + 9$ のグラフが $x$ 軸と2点で交わっているか、1点で接しているか、まったく交わっていないかを答える。

2. 解き方の手順

判別式 $D$ を計算し、$D > 0$ ならば2点で交わる、$D = 0$ ならば1点で接する、$D < 0$ ならば交わらない。

$D = b^2 - 4ac$ に、$a = 15$, $b = -0.75$, $c = 9$ を代入する。

$D = (-0.75)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 9 = 0.5625 - 540 = -539.4375$

$D < 0$ なので、グラフは $x$ 軸と交わらない。

3. 最終的な答え

まったく交わっていない。

## 問2

1. 問題の内容

$y = 2x^2 + 4x + m$ が $x$ 軸と2点で交わるような、$m$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

判別式 $D$ を計算し、$D > 0$ となる $m$ の範囲を求める。

$D = b^2 - 4ac$ に、$a = 2$, $b = 4$, $c = m$ を代入する。

$D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot m = 16 - 8m$

$D > 0$ より、$16 - 8m > 0$。

$8m < 16$

$m < 2$

3. 最終的な答え

$m < 2$

## 問3

1. 問題の内容

$y = mx^2 + 2mx - 9$ が $x$ 軸と1点で接するような、$m$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$x$ 軸と1点で接するということは、判別式 $D = 0$ となる。ただし、$m = 0$ の場合、2次関数でなくなるため、$m \neq 0$ である必要がある。

$m = 0$ の場合、$y = -9$ となり、$x$軸とは交わらないので、$m \neq 0$ は確定。

$D = b^2 - 4ac$ に、$a = m$, $b = 2m$, $c = -9$ を代入する。

$D = (2m)^2 - 4 \cdot m \cdot (-9) = 4m^2 + 36m$

$D = 0$ より、$4m^2 + 36m = 0$。

$4m(m + 9) = 0$

$m = 0$ または $m = -9$

$m=0$は2次関数にならないので不適。

よって、$m = -9$

3. 最終的な答え

$m = -9$

## 問4

1. 問題の内容

$y = x^2 + mx - 2m$ が $x$ 軸と交わらないような、$m$ の値を求める。

2. 解き方の手順

判別式 $D$ を計算し、$D < 0$ となる $m$ の範囲を求める。

$D = b^2 - 4ac$ に、$a = 1$, $b = m$, $c = -2m$ を代入する。

$D = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2m) = m^2 + 8m$

$D < 0$ より、$m^2 + 8m < 0$。

$m(m + 8) < 0$

$-8 < m < 0$

3. 最終的な答え

$-8 < m < 0$

## 問5

1. 問題の内容

$(0, 0)$, $(6, 0)$, $(4, -8)$ を通る放物線の式を求める。

2. 解き方の手順

放物線の式を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

$(0, 0)$ を通るので、$0 = a(0)^2 + b(0) + c$ より、$c = 0$。

$(6, 0)$ を通るので、$0 = a(6)^2 + b(6) + 0$ より、$36a + 6b = 0$。これを整理して、$6a + b = 0$。

$(4, -8)$ を通るので、$-8 = a(4)^2 + b(4) + 0$ より、$16a + 4b = -8$。これを整理して、$4a + b = -2$。

連立方程式

$6a + b = 0$

$4a + b = -2$

を解く。

上の式から下の式を引くと、$2a = 2$ より、$a = 1$。

$b = -6a = -6(1) = -6$。

よって、$y = x^2 - 6x$

3. 最終的な答え

$y = x^2 - 6x$