与えられた複数の行列について、行列式の値を求めよ。行列式の基本性質を利用すること。問題は (1) から (8) までの8つある。

1. 問題の内容

与えられた複数の行列について、行列式の値を求めよ。行列式の基本性質を利用すること。問題は (1) から (8) までの8つある。

2. 解き方の手順

行列式の計算は、以下の性質を利用して行う。

- 対角成分のみが 0 でない行列の行列式は、対角成分の積に等しい。

- 行列のある行（または列）を定数倍したものを別の行（または列）に加えても、行列式の値は変わらない。

- 行列の2つの行（または列）を入れ替えると、行列式の符号が反転する。

- ある行または列がすべて 0 の場合、行列式は 0 である。

(1)

与えられた行列は下三角行列なので、対角成分の積がそのまま行列式となる。

$4 * 1 * 2 = 8$

(2)

行列式を計算する。

$$

\begin{vmatrix}

2 & 1 & 3 \\

0 & 4 & 2 \\

0 & 3 & 1

\end{vmatrix}

= 2 *

\begin{vmatrix}

4 & 2 \\

3 & 1

\end{vmatrix}

= 2 * (4 * 1 - 2 * 3) = 2 * (4 - 6) = 2 * (-2) = -4

$$

(3)

行列式を計算する。

$$

\begin{vmatrix}

0 & -6 & 1 \\

2 & 3 & -3 \\

0 & 8 & -6

\end{vmatrix}

= -2 *

\begin{vmatrix}

-6 & 1 \\

8 & -6

\end{vmatrix}

= -2 * ((-6) * (-6) - 1 * 8) = -2 * (36 - 8) = -2 * 28 = -56

$$

(4)

行列式を計算する。

$$

\begin{vmatrix}

-2 & 0 & 1 \\

7 & 3 & 4 \\

2 & 0 & 5

\end{vmatrix}

= 3 *

\begin{vmatrix}

-2 & 1 \\

2 & 5

\end{vmatrix}

= 3 * ((-2) * 5 - 1 * 2) = 3 * (-10 - 2) = 3 * (-12) = -36

$$

(5)

行列式を計算する。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 1 \\

2 & 3 & -1 \\

0 & 1 & 1

\end{vmatrix}

= 1 *

\begin{vmatrix}

3 & -1 \\

1 & 1

\end{vmatrix}

- 2 *

\begin{vmatrix}

2 & -1 \\

0 & 1

\end{vmatrix}

+ 1 *

\begin{vmatrix}

2 & 3 \\

0 & 1

\end{vmatrix}

= 1 * (3 + 1) - 2 * (2 - 0) + 1 * (2 - 0) = 4 - 4 + 2 = 2

$$

(6)

与えられた行列は下三角行列なので、対角成分の積がそのまま行列式となる。

$3 * (-1) * (-1) * 2 = 6$

(7)

行列式を計算する。

$$

\begin{vmatrix}

-2 & 1 & -3 & -2 \\

0 & 3 & -1 & 5 \\

0 & 3 & 4 & -1 \\

0 & -2 & -1 & -2

\end{vmatrix}

= -2 *

\begin{vmatrix}

3 & -1 & 5 \\

3 & 4 & -1 \\

-2 & -1 & -2

\end{vmatrix}

= -2 * (3 * (4 * (-2) - (-1) * (-1)) - (-1) * (3 * (-2) - (-1) * (-2)) + 5 * (3 * (-1) - 4 * (-2))) \\

= -2 * (3 * (-8 - 1) + 1 * (-6 - 2) + 5 * (-3 + 8)) = -2 * (3 * (-9) + 1 * (-8) + 5 * 5) = -2 * (-27 - 8 + 25) = -2 * (-10) = 20

$$

(8)

3行目がすべて0なので、行列式は 0 である。

3. 最終的な答え

(1) 8

(2) -4

(3) -56

(4) -36

(5) 2

(6) 6

(7) 20

(8) 0