以下の3つの2次関数について、頂点、x切片、y切片を求め、グラフを描く問題です。 (1) $y = x^2 - x - 2$ (2) $y = -x^2 + 3$ (3) $y = x^2 + 2x + 1$

1. 問題の内容

以下の3つの2次関数について、頂点、x切片、y切片を求め、グラフを描く問題です。

(1) $y = x^2 - x - 2$

(2) $y = -x^2 + 3$

(3) $y = x^2 + 2x + 1$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - x - 2$

* 平方完成を行います。

$y = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 2 = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}$

* 頂点は $(\frac{1}{2}, -\frac{9}{4})$ です。

* y切片は $x=0$ の時の $y$ の値なので、 $y = 0^2 - 0 - 2 = -2$ となります。

* x切片は $y=0$ の時の $x$ の値なので、$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) = 0$ より $x = 2, -1$ となります。

* グラフは頂点 $(\frac{1}{2}, -\frac{9}{4})$ をもち、下に凸な放物線で、y切片は $(0, -2)$、x切片は $(2, 0)$と $(-1, 0)$ を通ります。

(2) $y = -x^2 + 3$

* 平方完成を行います。

$y = -(x - 0)^2 + 3$

* 頂点は $(0, 3)$ です。

* y切片は $x=0$ の時の $y$ の値なので、$y = -0^2 + 3 = 3$ となります。

* x切片は $y=0$ の時の $x$ の値なので、 $-x^2 + 3 = 0$ より $x^2 = 3$ 、つまり $x = \pm\sqrt{3}$ となります。

* グラフは頂点 $(0, 3)$ をもち、上に凸な放物線で、y切片は $(0, 3)$、x切片は $(\sqrt{3}, 0)$ と $(-\sqrt{3}, 0)$ を通ります。

(3) $y = x^2 + 2x + 1$

* 平方完成を行います。

$y = (x + 1)^2$

* 頂点は $(-1, 0)$ です。

* y切片は $x=0$ の時の $y$ の値なので、$y = 0^2 + 2 \cdot 0 + 1 = 1$ となります。

* x切片は $y=0$ の時の $x$ の値なので、 $(x+1)^2 = 0$ より $x = -1$ となります。

* グラフは頂点 $(-1, 0)$ をもち、下に凸な放物線で、y切片は $(0, 1)$、x切片は $(-1, 0)$ を通ります。

3. 最終的な答え

(1)

* 頂点: $(\frac{1}{2}, -\frac{9}{4})$

* x切片: $x = 2, -1$

* y切片: $y = -2$

(2)

* 頂点: $(0, 3)$

* x切片: $x = \pm\sqrt{3}$

* y切片: $y = 3$

(3)

* 頂点: $(-1, 0)$

* x切片: $x = -1$

* y切片: $y = 1$

グラフは、それぞれの頂点、x切片、y切片を元に描画してください。