右の図のような道のある町がある。次の各場合において、A地点からB地点まで最短経路で行く方法は何通りあるかを求める問題です。 (1) AからBまで行く。 (2) AからCを通ってBまで行く。 (3) AからCを通らずにBまで行く。

1. 問題の内容

右の図のような道のある町がある。次の各場合において、A地点からB地点まで最短経路で行く方法は何通りあるかを求める問題です。

(1) AからBまで行く。

(2) AからCを通ってBまで行く。

(3) AからCを通らずにBまで行く。

2. 解き方の手順

(1) AからBまで行く場合:

AからBまでの最短経路は、右に4回、上に3回移動することで到達できます。したがって、7回の移動のうち、右に移動する4回を選べば良いので、組み合わせの数で計算できます。

$_{7}C_{4} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り

(2) AからCを通ってBまで行く場合:

まず、AからCまでの最短経路を求めます。AからCまでは、右に2回、上に1回移動することで到達できます。したがって、3回の移動のうち、右に移動する2回を選べば良いので、組み合わせの数で計算できます。

$_{3}C_{2} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り

次に、CからBまでの最短経路を求めます。CからBまでは、右に2回、上に2回移動することで到達できます。したがって、4回の移動のうち、右に移動する2回を選べば良いので、組み合わせの数で計算できます。

$_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り

AからCを通ってBまで行く経路の総数は、AからCまでの経路数とCからBまでの経路数を掛け合わせたものになります。

$3 \times 6 = 18$ 通り

(3) AからCを通らずにBまで行く場合:

AからBまでのすべての経路数から、AからCを通ってBまで行く経路数を引けば、AからCを通らずにBまで行く経路数が求められます。

$35 - 18 = 17$ 通り

3. 最終的な答え

(1) AからBまで行く場合：35通り

(2) AからCを通ってBまで行く場合：18通り

(3) AからCを通らずにBまで行く場合：17通り