与えられた置換 $\sigma$ を互換の積に分解し、置換の符号 $sgn(\sigma)$ を求めます。 $\sigma$ は次のように定義されています。 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 5 & 4 & 3 & 1 & 2 & 6 & 9 & 7 & 8 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた置換 $\sigma$ を互換の積に分解し、置換の符号 $sgn(\sigma)$ を求めます。

$\sigma$ は次のように定義されています。

$\sigma = \begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\

5 & 4 & 3 & 1 & 2 & 6 & 9 & 7 & 8

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、置換 $\sigma$ を巡回置換の積に分解します。

* 1 → 5 → 2 → 4 → 1 なので、(1 5 2 4)

* 3 → 3 なので、(3)

* 6 → 6 なので、(6)

* 7 → 9 → 8 → 7 なので、(7 9 8)

したがって、$\sigma = (1\ 5\ 2\ 4)(7\ 9\ 8)$ となります。

次に、巡回置換を互換の積に分解します。

* $(1\ 5\ 2\ 4) = (1\ 4)(1\ 2)(1\ 5)$

* $(7\ 9\ 8) = (7\ 8)(7\ 9)$

したがって、$\sigma = (1\ 4)(1\ 2)(1\ 5)(7\ 8)(7\ 9)$ となり、互換の積への分解が得られました。

互換の数は5つなので、$sgn(\sigma) = (-1)^5 = -1$ となります。

3. 最終的な答え

$\sigma$ の互換の積への分解は $\sigma = (1\ 4)(1\ 2)(1\ 5)(7\ 8)(7\ 9)$

置換の符号は $sgn(\sigma) = -1$