与えられた関数について、3次導関数を計算します。 (1) $f(x) = \frac{1}{x^2}$ (2) $g(x) = \sqrt{3x-1}$

1. 問題の内容

与えられた関数について、3次導関数を計算します。

(1) $f(x) = \frac{1}{x^2}$

(2) $g(x) = \sqrt{3x-1}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$ の場合

まず、1次導関数を求めます。

$f'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$

次に、2次導関数を求めます。

$f''(x) = (-2)(-3)x^{-4} = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4}$

最後に、3次導関数を求めます。

$f'''(x) = (6)(-4)x^{-5} = -24x^{-5} = -\frac{24}{x^5}$

(2) $g(x) = \sqrt{3x-1} = (3x-1)^{1/2}$ の場合

まず、1次導関数を求めます。

$g'(x) = \frac{1}{2}(3x-1)^{-1/2} \cdot 3 = \frac{3}{2}(3x-1)^{-1/2} = \frac{3}{2\sqrt{3x-1}}$

次に、2次導関数を求めます。

$g''(x) = \frac{3}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) (3x-1)^{-3/2} \cdot 3 = -\frac{9}{4}(3x-1)^{-3/2} = -\frac{9}{4(3x-1)^{3/2}}$

最後に、3次導関数を求めます。

$g'''(x) = -\frac{9}{4} \cdot (-\frac{3}{2}) (3x-1)^{-5/2} \cdot 3 = \frac{81}{8}(3x-1)^{-5/2} = \frac{81}{8(3x-1)^{5/2}}$

3. 最終的な答え

(1) $f'''(x) = -\frac{24}{x^5}$

(2) $g'''(x) = \frac{81}{8(3x-1)^{5/2}}$