## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

与えられた3つの式をそれぞれ簡単にします。

1. $\frac{1}{(x-1)x} + \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)}$

2. $\frac{x+1}{x} + \frac{x+2}{x+1} - \frac{x+3}{x+2} - \frac{x+4}{x+3}$

3. $\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x} + \frac{2}{1+x^2} + \frac{4}{1+x^4}$

##

2. 解き方の手順

###

1. の解き方

部分分数分解を利用します。

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

これを用いると、

$\frac{1}{(x-1)x} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

したがって、

$\frac{1}{(x-1)x} + \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} = (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}) + (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}) + (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2})$

$= \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2} = \frac{(x+2) - (x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{3}{(x-1)(x+2)}$

###

2. の解き方

$\frac{x+1}{x} + \frac{x+2}{x+1} - \frac{x+3}{x+2} - \frac{x+4}{x+3}$

$= (1 + \frac{1}{x}) + (1 + \frac{1}{x+1}) - (1 + \frac{1}{x+2}) - (1 + \frac{1}{x+3})$

$= 1 + \frac{1}{x} + 1 + \frac{1}{x+1} - 1 - \frac{1}{x+2} - 1 - \frac{1}{x+3}$

$= \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}$

$= (\frac{1}{x} - \frac{1}{x+2}) + (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3})$

$= \frac{(x+2) - x}{x(x+2)} + \frac{(x+3) - (x+1)}{(x+1)(x+3)}$

$= \frac{2}{x(x+2)} + \frac{2}{(x+1)(x+3)}$

$= 2(\frac{1}{x(x+2)} + \frac{1}{(x+1)(x+3)})$

$= 2(\frac{(x+1)(x+3) + x(x+2)}{x(x+1)(x+2)(x+3)})$

$= 2(\frac{x^2+4x+3+x^2+2x}{x(x+1)(x+2)(x+3)})$

$= 2(\frac{2x^2+6x+3}{x(x+1)(x+2)(x+3)})$

$= \frac{4x^2+12x+6}{x(x+1)(x+2)(x+3)}$

###

3. の解き方

$\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x} + \frac{2}{1+x^2} + \frac{4}{1+x^4}$

$\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x} = \frac{1+x+1-x}{(1-x)(1+x)} = \frac{2}{1-x^2}$

$\frac{2}{1-x^2} + \frac{2}{1+x^2} = \frac{2(1+x^2)+2(1-x^2)}{(1-x^2)(1+x^2)} = \frac{4}{1-x^4}$

$\frac{4}{1-x^4} + \frac{4}{1+x^4} = \frac{4(1+x^4)+4(1-x^4)}{(1-x^4)(1+x^4)} = \frac{8}{1-x^8}$

##

3. 最終的な答え

1. $\frac{3}{(x-1)(x+2)}$

2. $\frac{4x^2+12x+6}{x(x+1)(x+2)(x+3)}$

3. $\frac{8}{1-x^8}$