与えられた二つのベクトル空間 $W$ について、それぞれの次元と1組の基を求める問題です。各 $W$ は $\mathbb{R}^5$ の部分空間であり、与えられた行列 $A$ に対して $Ax = 0$ を満たすベクトル $x$ の集合として定義されています。 (1) $W = \{x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0\}$, ここで $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}$ (2) $W = \{x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0\}$, ここで $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた二つのベクトル空間 $W$ について、それぞれの次元と1組の基を求める問題です。各 $W$ は $\mathbb{R}^5$ の部分空間であり、与えられた行列 $A$ に対して $Ax = 0$ を満たすベクトル $x$ の集合として定義されています。

(1)

$W = \{x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0\}$, ここで

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}$

(2)

$W = \{x \in \mathbb{R}^5 \mid Ax = 0\}$, ここで

$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) まず、行列 $A$ を簡約化します。簡約化された行列から、線形独立な変数の数（自由度）を求め、それが次元となります。次に、自由変数を用いて、基底を構成します。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}$

第一行を-1倍して第二行に足し、第一行を-2倍して第三行に足すと:

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \end{bmatrix}$

第二行を-1/2倍すると:

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 3 \end{bmatrix}$

第二行を足すと第三行に足すと:

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & -5/2 & 5/2 \end{bmatrix}$

第三行を-2/5倍すると:

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

第三行を-1/2倍して第二行から引くと、第三行を-1倍して第一行から引くと

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

第二行を-1倍して第一行から引くと

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

$x_1 + x_3 + 2x_5 = 0$

$x_2 = 0$

$x_4 - x_5 = 0$

$x_1 = -x_3 - 2x_5$

$x_2 = 0$

$x_4 = x_5$

よって、$x = \begin{bmatrix} -x_3 - 2x_5 \\ 0 \\ x_3 \\ x_5 \\ x_5 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5 \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

(2) 同様に行列 $A$ を簡約化します。

$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}$

行の入れ替え:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 2 & 0 & -1 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & -7 & 10 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & -4 & -7 & 1 & 14 \\ 0 & -5 & -5 & -10 & 25 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & -5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \\ 0 & -4 & -7 & 1 & 14 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \\ 0 & 0 & -3 & 9 & -6 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -3 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & -7 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$

$x_1 + 3x_5 = 0$

$x_2 + 5x_4 - 7x_5 = 0$

$x_3 - 3x_4 + 2x_5 = 0$

$x_1 = -3x_5$

$x_2 = -5x_4 + 7x_5$

$x_3 = 3x_4 - 2x_5$

$x = \begin{bmatrix} -3x_5 \\ -5x_4 + 7x_5 \\ 3x_4 - 2x_5 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = x_4 \begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_5 \begin{bmatrix} -3 \\ 7 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

次元: 2

基底: $\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

(2)

次元: 2

基底: $\begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -3 \\ 7 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$