定積分 $\int_{-1}^{1} x \arcsin(x) dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} x \arcsin(x) dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を用いて解きます。

$u = \arcsin(x)$ と $dv = x dx$ と置くと、 $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ と $v = \frac{1}{2}x^2$ となります。

したがって、部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$$\int_{-1}^{1} x \arcsin(x) dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 \arcsin(x) \right]_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1} \frac{1}{2}x^2 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$$

となります。

まず、$\left[ \frac{1}{2}x^2 \arcsin(x) \right]_{-1}^{1}$ を計算します。

$$\frac{1}{2}(1)^2 \arcsin(1) - \frac{1}{2}(-1)^2 \arcsin(-1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \cdot (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$

次に、$\int_{-1}^{1} \frac{1}{2}x^2 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。

$x = \sin(\theta)$ と置換すると、$dx = \cos(\theta) d\theta$ となり、積分範囲は $x=-1$ のとき $\theta = -\frac{\pi}{2}$、$x=1$ のとき $\theta = \frac{\pi}{2}$ となります。

したがって、

$$\int_{-1}^{1} \frac{1}{2}x^2 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{2} \frac{\sin^2(\theta)}{\sqrt{1-\sin^2(\theta)}} \cos(\theta) d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{2} \frac{\sin^2(\theta)}{\cos(\theta)} \cos(\theta) d\theta = \frac{1}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2(\theta) d\theta$$

$\sin^2(\theta) = \frac{1-\cos(2\theta)}{2}$ であるから、

$$\frac{1}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2(\theta) d\theta = \frac{1}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1-\cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{4} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1-\cos(2\theta)) d\theta = \frac{1}{4} \left[ \theta - \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{1}{4} \left[ (\frac{\pi}{2} - 0) - (-\frac{\pi}{2} - 0) \right] = \frac{1}{4} (\pi) = \frac{\pi}{4}$$

したがって、

$$\int_{-1}^{1} x \arcsin(x) dx = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$