袋の中に1等のくじが1本（賞金100円）、2等のくじが3本（賞金50円）、はずれくじが6本（賞金0円）入っている。この袋からくじを1本取り出すとき、当たる賞金を$X$とする。$X$の標準偏差を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に1等のくじが1本（賞金100円）、2等のくじが3本（賞金50円）、はずれくじが6本（賞金0円）入っている。この袋からくじを1本取り出すとき、当たる賞金を$X$とする。$X$の標準偏差を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X$の確率分布を求める。

1等のくじを引く確率は $\frac{1}{10}$ (10本中1本)、賞金は100円。

2等のくじを引く確率は $\frac{3}{10}$ (10本中3本)、賞金は50円。

はずれくじを引く確率は $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ (10本中6本)、賞金は0円。

次に、$X$の期待値 $E(X)$ を計算する。

$E(X) = 100 \cdot \frac{1}{10} + 50 \cdot \frac{3}{10} + 0 \cdot \frac{6}{10} = 10 + 15 + 0 = 25$

次に、$X^2$の期待値 $E(X^2)$ を計算する。

$E(X^2) = 100^2 \cdot \frac{1}{10} + 50^2 \cdot \frac{3}{10} + 0^2 \cdot \frac{6}{10} = 10000 \cdot \frac{1}{10} + 2500 \cdot \frac{3}{10} + 0 = 1000 + 750 = 1750$

次に、$X$の分散 $V(X)$ を計算する。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1750 - 25^2 = 1750 - 625 = 1125$

最後に、$X$の標準偏差 $\sigma(X)$ を計算する。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{1125} = \sqrt{225 \cdot 5} = 15\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$15\sqrt{5}$