問題1: $1<x<y<z$ を満たす整数 $x$, $y$, $z$ があり、$(xy-1)(yz-1)(zx-1)$ が $xyz$ で割り切れるとき、$x$, $y$, $z$ の値を求めよ。 問題2: $n$ を4以上の整数とする。$a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ が等差数列をなし、$\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \dots, \frac{1}{a_n}$ が等比数列をなすとき、等差数列の一般項 $a_k$ を $a_1$ を用いて表せ。ただし、$a_1 \neq 0$とする。

1. 問題の内容

問題1: $1<x<y<z$ を満たす整数 $x$, $y$, $z$ があり、$(xy-1)(yz-1)(zx-1)$ が $xyz$ で割り切れるとき、$x$, $y$, $z$ の値を求めよ。

問題2: $n$ を4以上の整数とする。$a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ が等差数列をなし、$\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \dots, \frac{1}{a_n}$ が等比数列をなすとき、等差数列の一般項 $a_k$ を $a_1$ を用いて表せ。ただし、$a_1 \neq 0$とする。

2. 解き方の手順

**問題1**

$(xy-1)(yz-1)(zx-1)$ が $xyz$ で割り切れるということは、ある整数 $k$ が存在して、

$(xy-1)(yz-1)(zx-1) = kxyz$

が成り立つ。

展開すると、

$x^2y^2z^2 - xy^2z - xyz^2 - x^2yz + xy + yz + zx - 1 = kxyz$

$xyz - \frac{xy^2z}{xyz} - \frac{xyz^2}{xyz} - \frac{x^2yz}{xyz} + \frac{xy}{xyz} + \frac{yz}{xyz} + \frac{zx}{xyz} - \frac{1}{xyz} = k$

$xyz - (x+y+z) + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} - \frac{1}{xyz} = k$

ここで、$k$は整数である。$x, y, z$は整数より、$xyz-(x+y+z)$は整数である。すると、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} - \frac{1}{xyz}$が整数である必要がある。

$1 < x < y < z$ なので、$x \ge 2, y \ge 3, z \ge 4$ である。

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \le \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{6+4+3}{12} = \frac{13}{12} < 2$

$\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$は正なので、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} - \frac{1}{xyz}$ は整数となるためには、

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} - \frac{1}{xyz} = 1$ でなくてはならない。

$\frac{xy+yz+zx-1}{xyz}=1$

$xy+yz+zx-1=xyz$

$xy+yz+zx=xyz+1$

$x=2$ のとき、$2y+yz+2z=2yz+1$

$yz-2y-2z+1=0$

$yz-2y-2z+4=3$

$(y-2)(z-2)=3$

$1 < x < y < z$より、$y-2=1$, $z-2=3$であるから、$y=3$, $z=5$.

$x=3$ のとき、$3y+yz+3z=3yz+1$

$2yz-3y-3z+1=0$

$4yz-6y-6z+2=0$

$(2y-3)(2z-3)=9-2=7$

$2y-3=1$, $2z-3=7$ より $2y=4, 2z=10$ なので、$y=2, z=5$.

しかし、$x<y$を満たさないので不適。

したがって、$x=2, y=3, z=5$

**問題2**

$a_1, a_2, \dots, a_n$ は等差数列なので、$a_k = a_1 + (k-1)d$ （$d$ は公差）

$\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \dots, \frac{1}{a_n}$ は等比数列なので、$\frac{1}{a_k} = \frac{1}{a_1}r^{k-1}$ （$r$ は公比）

$a_k = \frac{a_1}{r^{k-1}}$

したがって、$a_1 + (k-1)d = \frac{a_1}{r^{k-1}}$ が成り立つ。

$k=1$ のとき、$a_1 = \frac{a_1}{r^0} = a_1$

$k=2$ のとき、$a_1+d = \frac{a_1}{r}$

$k=3$ のとき、$a_1+2d = \frac{a_1}{r^2}$

$a_1+d = \frac{a_1}{r}$ より、$d = \frac{a_1}{r} - a_1 = a_1(\frac{1}{r}-1)$

$a_1+2d = \frac{a_1}{r^2}$ より、$a_1+2a_1(\frac{1}{r}-1) = \frac{a_1}{r^2}$

$1 + 2(\frac{1}{r}-1) = \frac{1}{r^2}$

$1 + \frac{2}{r} - 2 = \frac{1}{r^2}$

$\frac{2}{r} - 1 = \frac{1}{r^2}$

$2r - r^2 = 1$

$r^2 - 2r + 1 = 0$

$(r-1)^2 = 0$

$r=1$

$r=1$ のとき、$a_k = a_1$

$a_k = a_1+(k-1)d$ なので、$a_1 = a_1 + (k-1)d$

$(k-1)d=0$

$k \ge 4$ より $d=0$.

$a_k = a_1$

3. 最終的な答え

問題1: $(x, y, z) = (2, 3, 5)$

問題2: $a_k = a_1$