白玉4個と黒玉2個が入った袋から、玉を1個ずつ元に戻さずに2回続けて取り出すとき、白玉の出る回数をXとする。このとき、Xの標準偏差を求める。

1. 問題の内容

白玉4個と黒玉2個が入った袋から、玉を1個ずつ元に戻さずに2回続けて取り出すとき、白玉の出る回数をXとする。このとき、Xの標準偏差を求める。

2. 解き方の手順

Xは、0回、1回、2回となる。それぞれの確率を求める。

まず、全事象は6個から2個を取り出すので、$6 \times 5 = 30$通り。

* X=0のとき（2回とも黒玉）：

1回目に黒玉を引く確率は2/6。2回目に黒玉を引く確率は1/5。よって確率は $\frac{2}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$

* X=1のとき（1回白玉、1回黒玉）：

1回目に白玉、2回目に黒玉を引く確率は $\frac{4}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{8}{30}$

1回目に黒玉、2回目に白玉を引く確率は $\frac{2}{6} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{30}$

よって確率は $\frac{8}{30} + \frac{8}{30} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}$

* X=2のとき（2回とも白玉）：

1回目に白玉を引く確率は4/6。2回目に白玉を引く確率は3/5。よって確率は $\frac{4}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} = \frac{6}{15}$

Xの期待値E(X)は、

$E(X) = 0 \times \frac{1}{15} + 1 \times \frac{8}{15} + 2 \times \frac{6}{15} = \frac{8}{15} + \frac{12}{15} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$

X^2の期待値E(X^2)は、

$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{15} + 1^2 \times \frac{8}{15} + 2^2 \times \frac{6}{15} = \frac{8}{15} + \frac{24}{15} = \frac{32}{15}$

Xの分散V(X)は、

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{32}{15} - (\frac{4}{3})^2 = \frac{32}{15} - \frac{16}{9} = \frac{96 - 80}{45} = \frac{16}{45}$

Xの標準偏差σ(X)は、

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{16}{45}} = \frac{4}{\sqrt{45}} = \frac{4}{3\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{4\sqrt{5}}{15}$