この問題は複素数の極表示と直交表示の変換に関する演習問題です。具体的には、以下の6つの問題を解く必要があります。 * $e^{-j\frac{\pi}{4}}$ を直交表示に変換 * $2e^{j\frac{2}{3}\pi}$ を直交表示に変換 * $5e^{j\frac{3}{2}\pi}$ を直交表示に変換 * $1 - j\sqrt{3}$ を極表示に変換 * $3\sqrt{3} + j9$ を極表示に変換 * $\frac{1}{\sqrt{3} - j}$ を極表示に変換 （ただし、画像には$-\frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}$の極表示に変換する問題がありますが、これは質問に含めません。）

1. 問題の内容

この問題は複素数の極表示と直交表示の変換に関する演習問題です。具体的には、以下の6つの問題を解く必要があります。

* $e^{-j\frac{\pi}{4}}$ を直交表示に変換

* $2e^{j\frac{2}{3}\pi}$ を直交表示に変換

* $5e^{j\frac{3}{2}\pi}$ を直交表示に変換

* $1 - j\sqrt{3}$ を極表示に変換

* $3\sqrt{3} + j9$ を極表示に変換

* $\frac{1}{\sqrt{3} - j}$ を極表示に変換

（ただし、画像には$-\frac{1}{2} - j\frac{\sqrt{3}}{2}$の極表示に変換する問題がありますが、これは質問に含めません。）

2. 解き方の手順

**極表示から直交表示への変換**

極表示 $re^{j\theta}$ は、直交表示 $x + jy$ に次のように変換できます。

$x = r\cos\theta$

$y = r\sin\theta$

**直交表示から極表示への変換**

直交表示 $x + jy$ は、極表示 $re^{j\theta}$ に次のように変換できます。

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ (ただし、象限に注意)

以下に各問題の解き方を示します。

* $e^{-j\frac{\pi}{4}}$

$x = 1 \cdot \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = 1 \cdot \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、$e^{-j\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} - j\frac{\sqrt{2}}{2}$

* $2e^{j\frac{2}{3}\pi}$

$x = 2 \cdot \cos\left(\frac{2}{3}\pi\right) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$

$y = 2 \cdot \sin\left(\frac{2}{3}\pi\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

よって、$2e^{j\frac{2}{3}\pi} = -1 + j\sqrt{3}$

* $5e^{j\frac{3}{2}\pi}$

$x = 5 \cdot \cos\left(\frac{3}{2}\pi\right) = 5 \cdot 0 = 0$

$y = 5 \cdot \sin\left(\frac{3}{2}\pi\right) = 5 \cdot (-1) = -5$

よって、$5e^{j\frac{3}{2}\pi} = 0 - j5 = -j5$

* $1 - j\sqrt{3}$

$r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\theta = \arctan\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3}$

よって、$1 - j\sqrt{3} = 2e^{-j\frac{\pi}{3}}$

* $3\sqrt{3} + j9$

$r = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 9^2} = \sqrt{27 + 81} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$

$\theta = \arctan\left(\frac{9}{3\sqrt{3}}\right) = \arctan\left(\frac{3}{\sqrt{3}}\right) = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$

よって、$3\sqrt{3} + j9 = 6\sqrt{3}e^{j\frac{\pi}{3}}$

* $\frac{1}{\sqrt{3} - j}$

まず分母を実数化します。

$\frac{1}{\sqrt{3} - j} = \frac{\sqrt{3} + j}{(\sqrt{3} - j)(\sqrt{3} + j)} = \frac{\sqrt{3} + j}{3 + 1} = \frac{\sqrt{3} + j}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} + j\frac{1}{4}$

$r = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{16} + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{4}{16}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

$\theta = \arctan\left(\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{4}}\right) = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$

よって、$\frac{1}{\sqrt{3} - j} = \frac{1}{2}e^{j\frac{\pi}{6}}$

3. 最終的な答え

* $e^{-j\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} - j\frac{\sqrt{2}}{2}$

* $2e^{j\frac{2}{3}\pi} = -1 + j\sqrt{3}$

* $5e^{j\frac{3}{2}\pi} = -j5$

* $1 - j\sqrt{3} = 2e^{-j\frac{\pi}{3}}$

* $3\sqrt{3} + j9 = 6\sqrt{3}e^{j\frac{\pi}{3}}$

* $\frac{1}{\sqrt{3} - j} = \frac{1}{2}e^{j\frac{\pi}{6}}$