静電容量 $C = 100 \, \mu\text{F}$ のコンデンサに、周波数 $f = 100/\pi \, \text{Hz}$ の電圧 $V = 500 \angle 135^\circ \, \text{V}$ がかかっている。このとき、コンデンサを流れる電流 $I$ のフェーザ表示と複素数表示を求める問題です。

1. 問題の内容

静電容量 $C = 100 \, \mu\text{F}$ のコンデンサに、周波数 $f = 100/\pi \, \text{Hz}$ の電圧 $V = 500 \angle 135^\circ \, \text{V}$ がかかっている。このとき、コンデンサを流れる電流 $I$ のフェーザ表示と複素数表示を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、コンデンサのインピーダンス $Z_C$ を求めます。インピーダンスは以下の式で表されます。

$Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{1}{j2\pi f C}$

ここで、$f = 100/\pi$ Hz、$C = 100 \times 10^{-6}$ F であるから、

$Z_C = \frac{1}{j2\pi (100/\pi) (100 \times 10^{-6})} = \frac{1}{j2(100)(100 \times 10^{-6})} = \frac{1}{j0.02} = -j50 \, \Omega$

次に、電流 $I$ を求めます。電流はオームの法則 $I = V/Z_C$ より、

$I = \frac{500\angle 135^\circ}{-j50} = \frac{500\angle 135^\circ}{50\angle -90^\circ} = 10 \angle (135^\circ + 90^\circ) = 10 \angle 225^\circ \, \text{A}$

フェーザ表示は $I = 10 \angle 225^\circ$ A です。

次に、複素数表示を求めます。

$10 \angle 225^\circ = 10(\cos 225^\circ + j \sin 225^\circ) = 10(-\frac{\sqrt{2}}{2} - j\frac{\sqrt{2}}{2}) = -5\sqrt{2} - j5\sqrt{2} \approx -7.07 - j7.07 \, \text{A}$

3. 最終的な答え

$I = 10 \angle 225^\circ \, \text{A}$

$I = -5\sqrt{2} - j5\sqrt{2} \, \text{A} \approx -7.07 - j7.07 \, \text{A}$