質量がそれぞれ$m_1$, $m_2$ ($m_1 > m_2$)であるボールが同じ運動量で滑らかな床を滑ってきた。同じ力で受け止めた場合、 (a) ボールの動きを止めるまでにかかる時間はどちらがどのくらい長いか？ (b) ボールの動きを止めるまでにかかる距離はどちらがどのくらい長いか？

1. 問題の内容

質量がそれぞれ$m_1$, $m_2$ ($m_1 > m_2$)であるボールが同じ運動量で滑らかな床を滑ってきた。同じ力で受け止めた場合、

(a) ボールの動きを止めるまでにかかる時間はどちらがどのくらい長いか？

(b) ボールの動きを止めるまでにかかる距離はどちらがどのくらい長いか？

2. 解き方の手順

(a) 時間について：

運動量を$p$、力を$F$、時間を$t$とすると、力積と運動量の関係から、

$F t = \Delta p$

ここで、$\Delta p$は運動量の変化であり、ボールが止まるまでの運動量の変化は$-p$であるから、

$F t = -p$

したがって、止まるまでの時間は

$t = \frac{-p}{F} = \frac{p}{F}$

問題文より$p$と$F$は2つのボールで同じであるため、止まるまでの時間$t$は2つのボールで等しい。

(b) 距離について：

運動エネルギーを$K$、距離を$x$とすると、仕事とエネルギーの関係から、

$F x = \Delta K$

ここで、$\Delta K$は運動エネルギーの変化であり、ボールが止まるまでの運動エネルギーの変化は$-K$であるから、

$F x = -K$

したがって、止まるまでの距離は

$x = \frac{-K}{F} = \frac{K}{F}$

運動エネルギーは$K = \frac{p^2}{2m}$と表せるので、

$x = \frac{p^2}{2mF}$

$p$と$F$は2つのボールで同じであるため、$x$は$m$に反比例する。

$m_1 > m_2$であるから、$x_1 < x_2$となる。

したがって、$m_2$のボールの方が止まるまでの距離が長い。

3. 最終的な答え

(a) 時間：2つのボールで等しい。

(b) 距離：$m_2$のボールの方が長い。