二次関数 $y = 2x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に5、$y$ 軸方向に7だけ平行移動した放物線をグラフとする二次関数を求め、その頂点、軸、グラフの向きを求め、さらに、その関数を展開した形を求めます。

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

二次関数 $y = 2x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に5、$y$ 軸方向に7だけ平行移動した放物線をグラフとする二次関数を求め、その頂点、軸、グラフの向きを求め、さらに、その関数を展開した形を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 平行移動後の二次関数の式を求める

$y = 2x^2$ を $x$ 軸方向に5、$y$ 軸方向に7だけ平行移動した二次関数は、

$y = 2(x - 5)^2 + 7$

となる。これが①の式である。

(2) 頂点を求める

$y = 2(x - 5)^2 + 7$ の頂点は $(5, 7)$ である。

(3) 軸を求める

軸は $x = 5$ である。

(4) グラフの向きを求める

$x^2$ の係数が2で正であるから、グラフは下に凸である。

(5) ①の式を展開する

$y = 2(x - 5)^2 + 7 = 2(x^2 - 10x + 25) + 7 = 2x^2 - 20x + 50 + 7 = 2x^2 - 20x + 57$

3. 最終的な答え

平行移動した放物線をグラフとする2次関数は

$y = 2(x - 5)^2 + 7$　…①

このグラフの頂点は点 $(5, 7)$、軸は直線 $x = 5$、下に凸である。

また、①を展開すると

$y = 2x^2 - 20x + 57$

と表すことも出来る。