複素数の計算問題です。 $\left( \frac{-\sqrt{3} + j}{2 - j2} \right)^3$ を計算し、極形式 $re^{j\theta}$ の形で表します。

1. 問題の内容

複素数の計算問題です。

$\left( \frac{-\sqrt{3} + j}{2 - j2} \right)^3$ を計算し、極形式 $re^{j\theta}$ の形で表します。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ極形式に変換します。

分子：

$z_1 = -\sqrt{3} + j$

$|z_1| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$\arg(z_1) = \arctan\left(\frac{1}{-\sqrt{3}}\right) = \frac{5\pi}{6}$

よって、$z_1 = 2e^{j\frac{5\pi}{6}}$

分母：

$z_2 = 2 - j2$

$|z_2| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\arg(z_2) = \arctan\left(\frac{-2}{2}\right) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$

よって、$z_2 = 2\sqrt{2}e^{-j\frac{\pi}{4}}$

次に、$\frac{z_1}{z_2}$ を計算します。

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2e^{j\frac{5\pi}{6}}}{2\sqrt{2}e^{-j\frac{\pi}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\left(\frac{5\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\left(\frac{10\pi}{12} + \frac{3\pi}{12}\right)} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\frac{13\pi}{12}}$

最後に、$\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^3$ を計算します。

$\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^3 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\frac{13\pi}{12}}\right)^3 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 e^{j\frac{13\pi}{12} \cdot 3} = \frac{1}{2\sqrt{2}} e^{j\frac{13\pi}{4}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} e^{j\left(\frac{13\pi}{4} - 2\pi\right)} = \frac{1}{2\sqrt{2}} e^{j\frac{5\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{4} e^{j\frac{5\pi}{4}}$

答えの形式に合わせて変形すると、$\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$ となります。

したがって、$r = \frac{\sqrt{2}}{4}$, $\theta = \frac{5\pi}{4}$となります。

極形式の表記から$\theta$は$-\pi$から$\pi$の範囲におさめる必要があるため、$\frac{5\pi}{4}-2\pi=-\frac{3\pi}{4}$となります。

3. 最終的な答え

$\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)e^{-j\frac{3}{4}\pi}$