連続する3つの奇数の平方の和を12で割ったときの余りを求める。

数論整数の性質余り平方

2025/6/23

1. 問題の内容

連続する3つの奇数の平方の和を12で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

連続する3つの奇数を

2n-1

,

2n+1

,

2n+3

とする（

n

は整数）。

これらの平方の和を計算する。

(2n-1)^2 + (2n+1)^2 + (2n+3)^2 = (4n^2 - 4n + 1) + (4n^2 + 4n + 1) + (4n^2 + 12n + 9)

= 12n^2 + 12n + 11

次に、この式を12で割ったときの余りを考える。

12n^2 + 12n + 11 = 12(n^2 + n) + 11

12(n^2 + n)

は12の倍数なので、12で割ると余りは0である。

したがって、

12n^2 + 12n + 11

を12で割ったときの余りは11である。

3. 最終的な答え

11

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