## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

画像の問題は、主に平方根を含む数に関するものです。

**練習1**

(1) $\sqrt{30-a}$ が整数となるような0以上の整数 $a$ を全て求めよ。

(2) $\sqrt{168-12n}$ が自然数となるような自然数 $n$ を全て求めよ。

**練習2**

(1) $\sqrt{140a}$ が自然数となるような自然数 $a$ のうち、最小のものを求めよ。

(2) $\sqrt{270x}$ が自然数となるような自然数 $x$ のうち、最小のものを求めよ。

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2. 解き方の手順

**練習1**

**(1) $\sqrt{30-a}$ が整数となるような0以上の整数 $a$ を全て求める**

$\sqrt{30-a}$ が整数になるということは、$30-a$ が0以上の平方数になるということである。

$30-a = k^2$ ($k$ は0以上の整数)とすると、 $a = 30 - k^2$ となる。

$a$ は0以上の整数なので、$30-k^2 \geq 0$。 つまり $k^2 \leq 30$。

$k$ は整数なので、$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ が考えられる。

それぞれの $k$ に対する $a$ を計算する。

* $k=0$ のとき、$a = 30-0^2 = 30$

* $k=1$ のとき、$a = 30-1^2 = 29$

* $k=2$ のとき、$a = 30-2^2 = 26$

* $k=3$ のとき、$a = 30-3^2 = 21$

* $k=4$ のとき、$a = 30-4^2 = 14$

* $k=5$ のとき、$a = 30-5^2 = 5$

**(2) $\sqrt{168-12n}$ が自然数となるような自然数 $n$ を全て求める**

$\sqrt{168-12n}$ が自然数になるということは、$168-12n$ が0より大きい平方数になるということである。

$168-12n = k^2$ ($k$ は自然数) とすると、$12n = 168 - k^2$。 つまり $n = \frac{168-k^2}{12}$ となる。

$n$ は自然数なので、$\frac{168-k^2}{12}$ が自然数である必要がある。

つまり、$168-k^2$ は12の倍数である必要がある。また、$168 - k^2 > 0$。つまり $k^2 < 168$。

$k$ は自然数なので、$1 \leq k \leq 12$。

$168 - k^2$ が12の倍数であるかを確かめるには、$168 - k^2 \equiv 0 \pmod{12}$ を確かめれば良い。

$168 = 12 \times 14$ なので、$168 \equiv 0 \pmod{12}$。したがって、$k^2 \equiv 0 \pmod{12}$ となる $k$ を探せばよい。

つまり、$k$ は12の倍数の平方根の約数なので、2と3の倍数である必要がある。

したがって、$k$は6の倍数である必要がある。

$k = 6$ のとき、$n = \frac{168-6^2}{12} = \frac{168-36}{12} = \frac{132}{12} = 11$

$k = 12$ のとき、$n = \frac{168-12^2}{12} = \frac{168-144}{12} = \frac{24}{12} = 2$

**練習2**

**(1) $\sqrt{140a}$ が自然数となるような自然数 $a$ のうち、最小のものを求める**

$140a$ が平方数になるような最小の自然数 $a$ を求める。

$140 = 2^2 \times 5 \times 7$ なので、 $140a$ が平方数になるには、$a$ が $5 \times 7 = 35$ の倍数である必要がある。

したがって、$a$ の最小値は35である。

**(2) $\sqrt{270x}$ が自然数となるような自然数 $x$ のうち、最小のものを求める**

$270x$ が平方数になるような最小の自然数 $x$ を求める。

$270 = 2 \times 3^3 \times 5$ なので、$270x$ が平方数になるには、$x$ が $2 \times 3 \times 5 = 30$ の倍数である必要がある。

したがって、$x$ の最小値は30である。

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3. 最終的な答え

**練習1**

(1) $a = 5, 14, 21, 26, 29, 30$

(2) $n = 2, 11$

**練習2**

(1) $a = 35$

(2) $x = 30$