与えられた関数 $s(t)$, $s(v)$, $\alpha(\lambda)$, $g(r)$ をそれぞれ計算または簡略化することが求められています。

1. 問題の内容

与えられた関数 $s(t)$, $s(v)$, $\alpha(\lambda)$, $g(r)$ をそれぞれ計算または簡略化することが求められています。

2. 解き方の手順

(4) $s(t) = \cos^{-1}(3t-5)$

この関数は定義域に注意する必要があります。$\cos^{-1}(x)$ が定義されるのは $-1 \le x \le 1$ のときなので、$-1 \le 3t-5 \le 1$ を満たす必要があります。これを解くと、$4/3 \le t \le 2$ となります。これ以上の簡略化はできません。

(8) $\alpha(\lambda) = \tan^{-1} (\frac{1}{\lambda})$, $\lambda \neq 0$

これは $\lambda$ を用いて $\alpha(\lambda)$ を表す関数です。$\tan^{-1}(x)$ は任意の $x$ で定義されます。$\lambda \neq 0$ なので、これ以上の簡略化はできません。

(10) $s(v) = \sin^{-1} \sqrt{\frac{v}{v+1}}$

$\sin^{-1} x$ が定義されるのは $-1 \le x \le 1$ のときです。

$0 \le \frac{v}{v+1} \le 1$である必要があります。

$v \ge 0$ のとき、$v \le v+1$となり、$v$が正の時はいつでもこの条件を満たします。

$v+1>0$つまり$v>-1$でなければなりません。

したがって、$v \ge 0$となります。

(11) $g(r) = 2 \tan^{-1} \sqrt{r}$

この関数は $r \ge 0$ で定義されます。$2\tan^{-1} \sqrt{r}$ について、特に簡略化できる点はありません。

3. 最終的な答え

(4) $s(t) = \cos^{-1}(3t-5)$

(8) $\alpha(\lambda) = \tan^{-1} (\frac{1}{\lambda})$

(10) $s(v) = \sin^{-1} \sqrt{\frac{v}{v+1}}$

(11) $g(r) = 2 \tan^{-1} \sqrt{r}$