与えられた関数をそれぞれ微分する問題です。 (4) $s(t) = \cos^{-1}(3t-5)$ (8) $a(\lambda) = \tan^{-1}(\frac{1}{\lambda}), \lambda \neq 0$ (10) $s(v) = \sin^{-1}\sqrt{v+1}$ (11) $g(r) = 2\tan^{-1}\sqrt{r}$

1. 問題の内容

与えられた関数をそれぞれ微分する問題です。

(4) $s(t) = \cos^{-1}(3t-5)$

(8) $a(\lambda) = \tan^{-1}(\frac{1}{\lambda}), \lambda \neq 0$

(10) $s(v) = \sin^{-1}\sqrt{v+1}$

(11) $g(r) = 2\tan^{-1}\sqrt{r}$

2. 解き方の手順

(4) $s(t) = \cos^{-1}(3t-5)$

$\cos^{-1}(x)$ の微分は $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ であることを利用し、合成関数の微分を行う。

$\frac{ds}{dt} = -\frac{1}{\sqrt{1-(3t-5)^2}} \cdot \frac{d}{dt}(3t-5)$

$\frac{ds}{dt} = -\frac{1}{\sqrt{1-(3t-5)^2}} \cdot 3$

$\frac{ds}{dt} = -\frac{3}{\sqrt{1-(3t-5)^2}}$

(8) $a(\lambda) = \tan^{-1}(\frac{1}{\lambda}), \lambda \neq 0$

$\tan^{-1}(x)$ の微分は $\frac{1}{1+x^2}$ であることを利用し、合成関数の微分を行う。

$\frac{da}{d\lambda} = \frac{1}{1+(\frac{1}{\lambda})^2} \cdot \frac{d}{d\lambda}(\frac{1}{\lambda})$

$\frac{da}{d\lambda} = \frac{1}{1+\frac{1}{\lambda^2}} \cdot (-\frac{1}{\lambda^2})$

$\frac{da}{d\lambda} = \frac{1}{\frac{\lambda^2+1}{\lambda^2}} \cdot (-\frac{1}{\lambda^2})$

$\frac{da}{d\lambda} = \frac{\lambda^2}{\lambda^2+1} \cdot (-\frac{1}{\lambda^2})$

$\frac{da}{d\lambda} = -\frac{1}{\lambda^2+1}$

(10) $s(v) = \sin^{-1}\sqrt{v+1}$

$\sin^{-1}(x)$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ であることを利用し、合成関数の微分を行う。

$\frac{ds}{dv} = \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{v+1})^2}} \cdot \frac{d}{dv}(\sqrt{v+1})$

$\frac{ds}{dv} = \frac{1}{\sqrt{1-(v+1)}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{v+1}}$

$\frac{ds}{dv} = \frac{1}{\sqrt{-v}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{v+1}}$

$\frac{ds}{dv} = \frac{1}{2\sqrt{-v(v+1)}}$

$\frac{ds}{dv} = \frac{1}{2\sqrt{-v^2-v}}$

(11) $g(r) = 2\tan^{-1}\sqrt{r}$

$\tan^{-1}(x)$ の微分は $\frac{1}{1+x^2}$ であることを利用し、合成関数の微分を行う。

$\frac{dg}{dr} = 2 \cdot \frac{1}{1+(\sqrt{r})^2} \cdot \frac{d}{dr}(\sqrt{r})$

$\frac{dg}{dr} = 2 \cdot \frac{1}{1+r} \cdot \frac{1}{2\sqrt{r}}$

$\frac{dg}{dr} = \frac{1}{(1+r)\sqrt{r}}$

3. 最終的な答え

(4) $\frac{ds}{dt} = -\frac{3}{\sqrt{1-(3t-5)^2}}$

(8) $\frac{da}{d\lambda} = -\frac{1}{\lambda^2+1}$

(10) $\frac{ds}{dv} = \frac{1}{2\sqrt{-v^2-v}}$

(11) $\frac{dg}{dr} = \frac{1}{(1+r)\sqrt{r}}$