関数 $f(x)$ が区間 $(a, b)$ 上で定義されているとする。 $c \in (a, b)$ であるとき、$f(x)$ が $x = c$ で微分可能であることの $\epsilon-\delta$ 論法を用いた定義を述べる。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が区間 $(a, b)$ 上で定義されているとする。 $c \in (a, b)$ であるとき、$f(x)$ が $x = c$ で微分可能であることの $\epsilon-\delta$ 論法を用いた定義を述べる。

2. 解き方の手順

$f(x)$ が $x = c$ で微分可能であるとは、ある実数 $L$ が存在して、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在し、$0 < |x - c| < \delta$ を満たす全ての $x$ に対して、

$|\frac{f(x) - f(c)}{x - c} - L| < \epsilon$

が成り立つことをいう。このとき、$L$ を $f'(c)$ と書き、$f(x)$ の $x = c$ における微分係数と呼ぶ。

3. 最終的な答え

$f(x)$ が $x = c$ で微分可能であるとは、ある実数 $L$ が存在して、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在し、$0 < |x - c| < \delta$ を満たす全ての $x$ に対して、

$|\frac{f(x) - f(c)}{x - c} - L| < \epsilon$ が成り立つことである。